动态规划之二：背包问题knapsack

背包问题描述

有n个物品，它们有各自的体积和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

类似的问题非常多：
比如每个任务都有时间和价值，我们有一定的时间，现在在有限的的时间里完成最大价值的任务，如何安排？

任务	A	B	C	D	E	F	G
所得收益	7	9	5	12	14	6	12
需要时间	3	4	2	6	7	3	5

下面就以这个问题来进行分析。

分析

如果简单的用 收益/时间来表示收益率，其实非常容易解决这个问题，然而任务是无法分解的。不能做三分之一就停止。
我们还是用背包问题求解。

背包问题的核心是定义目标和找到状态转移公式。

求解

定义目标：求最大收益。
v[i][j] 来表示最大收益，背景：j是背包容量（时间），前i个物品的组合；
这个是关键定义。

然后我们找到相邻两步的关系（注意我们做任何事情都需要极度关注相邻状态，比如马尔科夫链）
v[i][j] 和上一个i-1个物品组合有何关系？
i物品太大，j放不下，那么 v[i][j]=v[i-1][j]
i物品可以放，那么 max(v[i-1][j], v[i-1][j-s[i]] + v[i])就是最优的。

这一步是第二个关键，我们分解一下。

1. 放得下，那么放的话，则 v[i-1][j-s[i]]+v[i] 这就是放完的最优状态
2. 放得下，但是不放, 收益其实不变，还是上一个状态的v[i-1][j]

那么再反过来思考一下：
v[i][j]是最优的
v[i-1][j-si]是最优的，空间变小后，收益增加v[i], 那么必须比较一下，到底是放进去带来的总体更好，还是不放留给后面的更好？

方法一: 递归

def value(n, space):
    '''
    knapsack递归解法
    选择第n个item的时候，到底是选择做还是不做；选择不做，空间不变，收益不变；
    如果选择做，那么space要减掉，收益增加v(n）
    :param n:
    :param space:
    :return:
    '''
    if n==0:
        return 0
    if item[n][1] >space:
        return value(n-1,space)
    return max(value(n-1,space), 
    value(n-1,space-item[n][1])+item[n][0])

方法二：递归记忆

方法三：直接数组

数组的方法也放在这里，总体代码如下，请忽略格式。

import