Leetcode 5. 最长回文子串(Longest Palindromic Substring)

推荐理由：暴力解法太 naive，中心扩散不普适，Manacher 就更不普适了，是专门解这个问题的方法。而用动态规划我认为是最有用的，可以帮助你举一反三的方法。

补充说明：Manacher 算法有兴趣的朋友们可以了解一下，有人就借助它的第一步字符串预处理思想，解决了 LeetCode 第 4 题。因此以上推荐仅代表个人观点。

解决这类 “最优子结构” 问题，可以考虑使用 “动态规划”：

1、定义 “状态”；
2、找到 “状态转移方程”。

记号说明： 下文中，使用记号 s[l, r] 表示原始字符串的一个子串，l、r 分别是区间的左右边界的索引值，使用左闭、右闭区间表示左右边界可以取到。举个例子，当 s = 'babad' 时，s[0, 1] = 'ba' ，s[2, 4] = 'bad'。

1、定义 “状态”，这里 “状态”数组是二维数组。

dp[l][r] 表示子串 s[l, r]（包括区间左右端点）是否构成回文串，是一个二维布尔型数组。即如果子串 s[l, r] 是回文串，那么 dp[l][r] = true。

2、找到 “状态转移方程”。

首先，我们很清楚一个事实：

1、当子串只包含 11 个字符，它一定是回文子串；

2、当子串包含 2 个以上字符的时候：如果 s[l, r] 是一个回文串，例如 “abccba”，那么这个回文串两边各往里面收缩一个字符（如果可以的话）的子串 s[l + 1, r - 1] 也一定是回文串，即：如果 dp[l][r] == true 成立，一定有 dp[l + 1][r - 1] = true 成立。

根据这一点，我们可以知道，给出一个子串 s[l, r] ，如果 s[l] != s[r]，那么这个子串就一定不是回文串。如果 s[l] == s[r] 成立，就接着判断 s[l + 1] 与 s[r - 1]，这很像中心扩散法的逆方法。

事实上，当 s[l] == s[r] 成立的时候，dp[l][r] 的值由 dp[l + 1][r - l] 决定，这一点也不难思考：当左右边界字符串相等的时候，整个字符串是否是回文就完全由“原字符串去掉左右边界”的子串是否回文决定。但是这里还需要再多考虑一点点：“原字符串去掉左右边界”的子串的边界情况。

1、当原字符串的元素个数为 33 个的时候，如果左右边界相等，那么去掉它们以后，只剩下 11 个字符，它一定是回文串，故原字符串也一定是回文串；

2、当原字符串的元素个数为 22 个的时候，如果左右边界相等，那么去掉它们以后，只剩下 00 个字符，显然原字符串也一定是回文串。

把上面两点归纳一下，只要 s[l + 1, r - 1] 至少包含两个元素，就有必要继续做判断，否则直接根据左右边界是否相等就能得到原字符串的回文性。而“s[l + 1, r - 1] 至少包含两个元素”等价于 l + 1 < r - 1，整理得 l - r < -2，或者 r - l > 2。

综上，如果一个字符串的左右边界相等，以下二者之一成立即可：
1、去掉左右边界以后的字符串不构成区间，即“ s[l + 1, r - 1] 至少包含两个元素”的反面，即 l - r >= -2，或者 r - l <= 2；
2、去掉左右边界以后的字符串是回文串，具体说，它的回文性决定了原字符串的回文性。

于是整理成“状态转移方程”：

dp[l, r] = (s[l] == s[r] and (l - r >= -2 or dp[l + 1, r - 1]))
或者

dp[l, r] = (s[l] == s[r] and (r - l <= 2 or dp[l + 1, r - 1]))
编码实现细节：因为要构成子串 l 一定小于等于 r ，我们只关心 “状态”数组“上三角”的那部分取值。理解上面的“状态转移方程”中的 (r - l <= 2 or dp[l + 1, r - 1]) 这部分是关键，因为 or 是短路运算，因此，如果收缩以后不构成区间，那么就没有必要看继续 dp[l + 1, r - 1] 的取值。

读者可以思考一下：为什么在动态规划的算法中，不用考虑回文串长度的奇偶性呢。想一想，答案就在状态转移方程里面。

具体编码细节在代码的注释中已经体现。

 

class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) 
    {
        if (s.size() < 2) return s;
        int n = s.size(), maxLen = 0, start = 0;
        for (int i = 0; i < n - 1; ++i) 
        {
            searchPalindrome(s, i, i, start, maxLen);
            searchPalindrome(s, i, i + 1, start, maxLen);
        }
        return s.substr(start, maxLen);
    }
    void searchPalindrome(string s, int left, int right, int& start, int& maxLen) 
    {
        while (left >= 0 && right < s.size() && s[left] == s[right]) 
        {
            --left; 
            ++right;
        }
        if (maxLen < right - left - 1) 
        {
            start = left + 1;
            maxLen = right - left - 1;
        }
    }
};