leetcode 70. Climbing Stairs 爬楼梯 python3

最新推荐文章于 2021-01-14 08:47:02 发布

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分类专栏： leetcode python 文章标签： leetcode python

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本文深入探讨了经典的爬楼梯问题，提供了递归、动态规划和斐波那契数列三种解决方案，分析了每种方法的时间和空间复杂度，帮助读者理解算法背后的数学归纳法和动态规划思想。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

时间：2020-05-26

题目地址：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/

题目难度：Easy

题目描述：

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶
示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

思路1：写了递归，执行超时，看评论大神直接加了个缓存

数学归纳法的思路

1: 1

2: 2

3: f(1) + f(2)

4: f(2) + f(3)

数学归纳 f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)

代码段1：通过

class Solution:
    @functools.lru_cache(100)
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        if(n <= 1):
            return 1
        return self.climbStairs(n - 1) + self.climbStairs(n - 2)

总结：

这也是DP的一种，使用了自带的缓存，这波操作，秀
还有朋友分析：返回值为int，n=46时，结果会溢出，因此n < 46，那么就枚举到45，把结果带上，更秀
回溯，递归 f(n) = f(n - 1） + f(n - 2)，f(0) = f(1) = 1
时间复杂度：O（n）【分析：不加缓存是O（logn）】空间复杂度：O（n）

思路2：递推 DP

代码段2：通过

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        mem = {0 : 1, 1 : 1}
        if(n <= 1):
            return 1
        for i in range(2, n + 1, 1):
            mem[i] = mem[i - 1] + mem[i - 2]
        return mem[n]

总结：

好使
动态规划最关键的两点：DP状态的定义【f(n)：总走法个数】，DP方程【f(n) = f(n - 1） + f(n - 2)】
时间复杂度：O（n）空间复杂度：O（n）

思路3：斐波那契数

代码段3：通过

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        x, y = 1, 1
        for _ in range(2, n + 1, 1):
            x, y = x + y, x # 同时赋值
        return x

总结：