CodeForces - 1312E Array Shrinking【区间DP】

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#动态规划 #算法

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区间DP

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本文深入探讨了一种数组压缩算法，旨在通过操作数组中相邻且相等的元素来减少数组的长度，实现数据的有效压缩。文章详细介绍了算法的状态定义、状态转移方程以及具体的实现过程，包括如何使用动态规划的方法来寻找数组可能的最短长度。

题意

给定数组 $a_1, a_2, ...,a_n$ ，你可以对该数组进行如下操作任意次数：

选择一对相邻且相等的数， $a_i = a_{i+1}$
用 $a_i+1$ 代替这一对数

现在求数组经过几次操作后，可能的最短的长度。

$1≤n≤500,1≤ai≤10001\le n \le500, 1\le a_i\le1000$

5
4 3 2 2 3

7
3 3 4 4 4 3 3

3
1 3 5

1
1000

题解

状态： $d p [i] [j]$ 表示在[i, j]范围内数组可能缩短的最短的长度
额外一个数组 $w [i] [j]$ 表示如果[i,j]范围内可以缩短成长度为1的值，如果dp[i][j]不是1那w[i][j]就没有意义。该数组用于判断两段区间的合并
状态转移： $d p [i] [j] = m i n (d p [i] [k] + d p [k + 1] [j]), k \in [i, j]$
如果有k使得 $\ dp[k+1][j]==1, \ w[i][k]==w[k+1][j]$ 那么 $d p [i] [j] = 2$

#include<cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define ll long long
#define pr pair<int, int>
const int maxn=4000;

int n, m, ans;

int a[maxn];
int dp[maxn][maxn], val[maxn][maxn];

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin >> a[i];
        val[i][i] = a[i]; dp[i][i] = 1;
    }
    for(int i=n-1;i>0;i--)
    {
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            dp[i][j] = 0x3f3f3f3f;
            for(int k=i;k<j;k++)
            {
                if(dp[i][k]+dp[k+1][j] < dp[i][j])
                {
                    dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k+1][j];
                    if(val[i][k]==val[k+1][j] && dp[i][k] == dp[k+1][j] && dp[i][k] == 1)
                    {
                        val[i][j] = val[i][k] + 1;
                        dp[i][j] = 1;
                    }
                }
            }
        }
    }
    cout << dp[1][n] << endl;

    return 0;
}