18、状态空间模型的理论与应用

状态空间模型的理论与应用

1. 状态变量与参数估计

在大多数应用中，需要对状态变量 (X) 和参数 (\theta) 进行估计，以实现预测、滤波和平滑。这些估计通常由条件密度来定义：
- 预测密度 ：(P(X_t | \mathcal{Y} {t - 1}))，即在给定截至时间 (t - 1) 的观测值 (\mathcal{Y} {t - 1} = {Y_1, \ldots, Y_{t - 1}}) 时，时间 (t) 的状态的条件概率。
- 滤波（更新）密度 ：(P(X_t | \mathcal{Y}_t))，即在给定截至时间 (t) 的观测值时，时间 (t) 的状态的条件概率。
- 平滑密度 ：(P(X_t | \mathcal{Y}_T))，其中 (t < T)，即在给定时间 (T > t) 的观测值时，时间 (t) 的状态的条件概率。

首先考虑似然函数：
[L(\theta) = P(\theta | \mathcal{Y} N) = \prod {i = 1}^{N} P(Y_i | \mathcal{Y} {i - 1}, \theta)]
其中
[P(Y_i | \mathcal{Y} {i - 1}, \theta) = \int_{X_i \in \mathcal{X}} P(Y_i, X_i | \mathcal{Y}_{i - 1}, \theta) dX_i]
(\mathcal{X}) 是状态变量 (X) 的定义域。(