在数字信号处理领域,傅里叶变换在分析日常信号和排查信号问题中具有重要作用,其核心是将信号分解为不同幅度和频率的正弦波。
图:方波是正弦波的叠加
01
FFT:频谱泄漏
FFT默认假设被分析的信号在采样窗口内是周期性重复的,但在实际情况中,常常并不能测量到整数个周期,这时被测量信号就会被从周期中间切断,有限数据采样会使测量信号产生突变即产生信号的不连续性,这些不连续片段在FFT中显示为高频成分,这些频率可能远高于麦奎斯特频率,在0~采样率一半的频率区间内产生混叠,因此利用FFT获得的频率是一个被改变过的频率。如下图中可以看到,FFT变换后,其频谱在真实频点周围存在大量的杂散成分,且频点最大值有一定幅度的下降。
加之FFT本质上是对连续频域sinc函数在离散频率点上的等间隔采样,如果信号频率未精确对齐频率仓(非整周期截断)即采样频率与信号频率不同步,sinc函数的旁瓣也会在这些离散点上被采样,这就导致能量通过旁瓣泄漏到非目标频率,进而引发频谱泄漏。在数学中,时域信号的截断就相当于乘以一个突变的矩形函数,这种操作在频域中表现为与sinc函数(主瓣+旁瓣)的卷积。
02
加窗:降低旁瓣泄漏
综上可知,频谱泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关,如果两侧旁瓣的高度趋于零,而使能量相对集中在主瓣,就可以较为接近于真实的频谱。因此,为了减少频谱能量泄漏,可采用不同的截取函数对信号进行截断,截断函数称为窗函数,简称为窗。
图:加窗后,消除采样波形中的不连续性
1)时域加窗
通常时域上加窗更为普遍,时域截断效应带来频谱泄漏,窗函数为了减小这个截断效应,被设计成一组加权系数w(n)。加窗在时域上表现的是点乘,因此在频域上则表现为卷积。卷积可以被看成是一个平滑的过程,相当于一组具有特定函数形状的滤波器,因此,原始信号中在某一频率点上的能量会结合滤波器的形状表现出来,从而减小泄漏。
图:对LFM的时域加窗会导致主瓣变宽而旁瓣得到明显降低,并且最大幅值也有所降低。
2)频域加窗
频域加窗在频域上表现为点乘,这是为了减小脉冲压缩后时域的距离向旁瓣,而对匹配滤波器的频率响应加窗。我们知道线性调频脉冲的频率响应近似为矩形,对其乘以窗函数可得到修正后的频率响应。
图:修正后的频率响应不再与发射的LFM信号匹配,输出峰值和信噪比都会有一定减小
03
窗函数:有何不同?如何选择?
不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的,这主要是因为不同的窗函数产生泄漏的大小不一样,频率分辨能力也不一样。为了不影响截短序列的相位响应,通常需要窗函数保持线性相位,以下是几种常用的窗函数及频率响应:
图:不同窗函数的频率响应比较
选择合适的窗函数可有效抑制泄漏,但需权衡频率分辨率、幅度精度和泄漏抑制效果(仅供参考):
窗函数 |
适用信号类型 |
频率分辨率 |
频谱泄漏抑制 |
幅度精度 |
巴特利特窗 |
随机信号 |
良好 |
一般 |
一般 |
布莱克曼窗 |
随机或混合信号 |
较差 |
最佳 |
良好 |
平顶窗 |
正弦信号 |
较差 |
良好 |
最佳 |
汉宁窗 |
随机信号 |
良好 |
良好 |
一般 |
凯泽贝塞尔窗 |
随机信号 |
一般 |
良好 |
良好 |
无窗(矩形窗) |
瞬态信号 & 同步采样 |
最佳 |
较差 |
较差 |
04
立思方RTSA
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