自动控制原理：二阶系统的动态性能分析

系统在欠阻尼情况时的单位跃迁响应为：

$$c(t)=1-\frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}sin(\omega_dt+\theta)$$
其中$\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$，$\theta=arctan\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}$或$\theta=arccos\zeta$。

上升时间

$$t_r=\frac{\pi-\theta}{\omega_d}=\frac{\pi-\theta}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}$$
可见，当$\omega_n$一定时，阻尼比$\zeta$越大，上升时间$t_r$越长，当$\zeta$一定时，$w_n$越大，则$t_r$越小。

峰值时间

$$t_p=\frac{\pi}{\omega_d}=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}$$
可见,当$\zeta$一定时，$\omega_n$越大，$t_p$越小，反应速度越快。当$\omega_n$一定时，$\zeta$越小，$t_p$也越小。由于$\omega_d$是闭环极点虚部的数值，$\omega_d$越大，则闭环极点到实轴的距离越远，因此，也可以说峰值时间$t_p$与闭环极点到实轴的距离成反比。

超调量

$$\sigma_p=e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times100\%$$
$\sigma_p$只是$\zeta$的函数，与$\omega_n$无关，$\zeta$越小，$\sigma_p$越大。当二阶系统的阻尼比$\zeta$确定后，即可求出对应的超调量$\sigma_p$。

调节时间

$$t_s\approx\frac{3}{\zeta\omega_n}(\Delta=0.05)和t_s\approx\frac{t}{\zeta\omega_n}(\Delta=0.02)$$
调节时间$t_s$近似于$\zeta\omega_n$成反比。由于$\zeta\omega_n$是闭环极点实部的数值，$\zeta\omega_n$越大越大，则闭环极点到虚轴距离越远。