系统稳定性

参考文献：
谢克明，现代控制理论，清华大学出版社，2005.

系统的运动稳定性可以分为：基于输入输出描述的外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性。

内部稳定性和外部稳定性的关系：
对连续时间线性定常系统

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot x = Ax + Bu}\\ {y = Cx + Du} \end{array}} \right.\;\;\;x\left( 0 \right) = {x_0},\;t \ge 0,$$
若系统为内部稳定即渐近稳定，则系统必为BIBO稳定即外部稳定；系统为BIBO稳定即外部稳定不能保证系统必为内部稳定即渐近稳定。

Lyapunov稳定性：

系统的Lyapunov稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动时，经过“足够长”的时间以后，系统恢复到平衡状态的能力。系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而言的。
1． 平衡状态
设系统状态方程为$\dot x = f\left( {x,t} \right)$，若对所有t满足$\dot x = 0$，则称该状态x为平衡状态，记为${x_e}$，下式成立

$$f\left( {{x_e},t} \right) = 0,$$
满足上式中的点，称为平衡点。
1． Lyapunov稳定性
(1) Lyapunov意义下的稳定性
对于系统$\dot x = f\left( {x,t} \right)$，若任意给定实数$\varepsilon > 0$,都存在另一个实数$\delta \left( {\varepsilon ,{t_0}} \right) > 0$，使当$\left\| {{x_0} - {x_e}} \right\| \le \delta$时，从任意初态${x_0}$出发的解$\Phi \left( {t,{x_0},{t_0}} \right)$满足
$$\left\| {\Phi \left( {t,{x_0},{t_0}} \right){\rm{ - }}{x_e}} \right\| \le \varepsilon ,\;\;t \ge {t_0}$$
则称系统的平衡状态${x_e}$是稳定的，其中$\delta \left( {\varepsilon ,{t_0}} \right)$是关于${t_0}$有关的实数；若$\delta$与${t_0}$无关，则称${x_e}$是一致稳定的。
对于定常系统，$\delta$与${t_0}$无关，此时稳定的平衡状态一定是一致稳定的。
（2） 渐近稳定性
对于系统$\dot x = f\left( {x,t} \right)$，若任意给定实数$\varepsilon > 0$,都存在另一个实数$\delta \left( {\varepsilon ,{t_0}} \right) > 0$，使当$\left\| {{x_0} - {x_e}} \right\| \le \delta$时，从任意初态${x_0}$出发的解$\Phi \left( {t,{x_0},{t_0}} \right)$满足
$$\left\| {\Phi \left( {t,{x_0},{t_0}} \right){\rm{ - }}{x_e}} \right\| \le \varepsilon ,\;\;t \ge {t_0}$$
且对于实数$\delta \left( {\varepsilon ,{t_0}} \right) > 0$和任意给定的实数$\mu > 0$，对应地存在实数$T\left( {\mu ,\delta ,{t_0}} \right) > 0$总有，
$$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left\| {\Phi \left( {t,{x_0},{t_0}} \right) - {x_e}} \right\| \le \mu ,\;t \ge {t_0} + T\left( {\mu ,\delta ,{t_0}} \right)$$
则称平衡状态${x_e}$是渐近稳定的。
渐近稳定比稳定性有更强的性质。
（3） 大范围渐近稳定
如果系统$\dot x = f\left( {x,t} \right)$在任意初始状态${x_0}$下的每一个解，当$t \to \infty$时，都收敛于${x_e}$，那么系统的平衡状态${x_e}$叫大范围渐近稳定的。
（4） 不稳定性
对于系统$\dot x = f\left( {x,t} \right)$，若任意给定实数$\varepsilon > 0$和任一实数$\delta > 0$，使当$\left\| {{x_0} - {x_e}} \right\| \le \delta$时，总存在一个初态${x_0}$，使
$$\left\| {\Phi \left( {t,{x_0},{t_0}} \right){\rm{ - }}{x_e}} \right\| > \varepsilon ,\;\;t \ge {t_0}$$
则称平衡状态${x_e}$是不稳定的。

Lyapunov第一法：

1. 线性定常系统
   线性定常系统$\dot x = Ax$，渐近稳定的充要条件是系统矩阵A的特征值$\lambda$均具有负实部，即
   $${\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{\lambda _i}} \right) < 0,\;i = 1,2, \cdots ,n$$
2. 线性时变系统
   线性时变系统$\dot x = A\left( t \right)x$，其状态解为$x\left( t \right) = \Phi \left( {t,{t_0}} \right)x\left( {{t_0}} \right)$，根据Lyapunov稳定性定义，有：
   1） 若存在某正数$N\left( {{t_0}} \right)$，对于任意${t_0}$和$t \ge {t_0}$，有$\left\| {\Phi \left( {t,{t_0}} \right)} \right\| \le N\left( {{t_0}} \right)$，则系统稳定；
   2） 若存在某正数$N\left( {{t_0}} \right)$，对于任意${t_0}$和$t \ge {t_0}$，有$\left\| {\Phi \left( {t,{t_0}} \right)} \right\| \le N$，则系统一致稳定；
   3） 若存在某正数$N\left( {{t_0}} \right)$，对于任意${t_0}$和$t \ge {t_0}$，有$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left\| {\Phi \left( {t,{t_0}} \right)} \right\| \to 0$，则系统渐近稳定；
   4） 若存在某常数$N > 0$, $C > 0$，则对于任意${t_0}$和$t \ge {t_0}$，有$\left\| {\Phi \left( {t,{t_0}} \right)} \right\| \le N{e^{ - C\left( {t - {t_0}} \right)}}$，则系统一致渐近稳定。
3. 非线性定常系统
   非线性定常系统的自治状态方程为$\dot x = f\left( x \right)$，$f\left( x \right)$对状态向量x有连续的偏导数，在平衡状态${x_e} = 0$处展成泰勒级数，则
   $$\dot x = Ax + R\left( x \right)$$ ，
   式中A为雅可比矩阵，$R\left( x \right)$包含对x的二次及二次以上的高阶导数。
   1） 若A的特征值都具有负实部，则系统是在 的足够小领域内渐近稳定的；
   2） 若A的特征值中，至少有一个具有正的实部，则不论被忽略的高阶导数项$R\left( x \right)$如何，系统的平衡状态总是不稳定的；
   3） 若A的特征值中，至少有一个实部为0，此时原线性系统不能用线性化方程来判断其稳定性。