5、标量守恒方程：积分与微分形式的深入解析

标量守恒方程：积分与微分形式的深入解析

1. 积分形式的标量守恒方程

积分形式的标量守恒方程可从式(3.11)完整地写为：
[
\int_{A_{in}} \rho_a [t - \Delta t_A] dA + \int_{A_{out}} \rho_a (t) dA + \int_{A} (\rho_d + c) (t) dA + \int_{V} \frac{\partial \rho_e (t)}{\partial t} dV - \int_{V_a} \frac{\partial \rho_e [t - \Delta t_V]}{\partial t} dV = \int_{V} \rho_f e dV
]
通过泰勒级数近似，可将上式左侧的后两项合并为更具物理意义的表达式。忽略二阶导数项（当 (V) 和 (\Delta t) 趋近于零时，二阶导数项消失），得到：
[
\int_{A_{in}} \rho_a [t - \Delta t_A] dA + \int_{A_{out}} \rho_a (t) dA + \int_{A} (\rho_d + c) (t) dA + \int_{V - V_a} \frac{\partial \rho_e (t)}{\partial t} dV = \int_{V} \rho_f e dV
]

为了对比，经典的欧拉积分平衡方程为：
[
\int_{A_{in}} \rho_a dA + \int_{A_{out}} \rho_a dA + \int_{A} (\rho_d + c) dA + \int_{V} \frac{\partial \rho_e (t)}