本文探讨了生日问题，即在一定数量的人群中至少有两人生日相同的概率。通过反向计算不同人生日不相同的概率，揭示了著名的生日悖论，指出当人数达到23时，这一概率接近0.5。文章还利用平均值不等式进行了数学证明，并讨论了相关概率计算。
生日问题
1.引入
假设教室内存在 n n n名同学，求至少两名同学生日相同的概率。
2.生日悖论
（此部分引用自@Harrytsz的博客）
从反面考虑这一问题，即求任意两名同学生日不同的概率。
显然存在以下性质：
1.第一个同学的生日有 365 365 365种选择；
2.第二的同学的生日有 364 364 364种选择；
3.第三个同学的生日有 363 363 363种选择；
4.第四个同学的生日有 362 362 362种选择；
5.第i个同学的生日有 365 − i + 1 365 - i + 1 365−i+1种选择；
因为 n n n位同学选择总数为：
∏ i = 1 n 365 = 36 5 n \prod _{i=1}^n 365=365^n i=1∏n365=365n
故不同的选择总数为：
E ( n ) = ∏ i = 1 n 365 365 − i + 1 E(n)=\prod_{i=1}^{n} \frac{365}{365-i+1} E(n)=i=1∏n365−i+1365
因此 n n n位同学生日不同的数学期望为：
E ′ ( n ) = 1 − E ( n ) E^{'}(n)=1-E(n) E′(n)=1−E(n)
即
E ′ ( n ) = 1 − ∏ i = 1 n 365 365 − i + 1 E^{'}(n)=1-\prod_{i=1}^{n} \frac{365}{365-i+1} E
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