生日问题

本文探讨了生日问题,即在一定数量的人群中至少有两人生日相同的概率。通过反向计算不同人生日不相同的概率,揭示了著名的生日悖论,指出当人数达到23时,这一概率接近0.5。文章还利用平均值不等式进行了数学证明,并讨论了相关概率计算。

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生日问题

1.引入

假设教室内存在 n n n名同学,求至少两名同学生日相同的概率。

2.生日悖论

(此部分引用自@Harrytsz的博客

从反面考虑这一问题,即求任意两名同学生日不同的概率。

显然存在以下性质:

1.第一个同学的生日有 365 365 365种选择;
2.第二的同学的生日有 364 364 364种选择;
3.第三个同学的生日有 363 363 363种选择;
4.第四个同学的生日有 362 362 362种选择;
5.第i个同学的生日有 365 − i + 1 365 - i + 1 365i+1种选择;

因为 n n n位同学选择总数为:

∏ i = 1 n 365 = 36 5 n \prod _{i=1}^n 365=365^n i=1n365=365n

故不同的选择总数为:
E ( n ) = ∏ i = 1 n 365 365 − i + 1 E(n)=\prod_{i=1}^{n} \frac{365}{365-i+1} E(n)=i=1n365i+1365

因此 n n n位同学生日不同的数学期望为:

E ′ ( n ) = 1 − E ( n ) E^{'}(n)=1-E(n) E(n)=1E(n)


E ′ ( n ) = 1 − ∏ i = 1 n 365 365 − i + 1 E^{'}(n)=1-\prod_{i=1}^{n} \frac{365}{365-i+1} E

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