生日问题

生日问题

1.引入

假设教室内存在$n$名同学，求至少两名同学生日相同的概率。

2.生日悖论

（此部分引用自@Harrytsz的博客）

从反面考虑这一问题，即求任意两名同学生日不同的概率。

显然存在以下性质：

1.第一个同学的生日有$365$种选择；
2.第二的同学的生日有$364$种选择；
3.第三个同学的生日有$363$种选择；
4.第四个同学的生日有$362$种选择；
5.第i个同学的生日有$365-i+1$种选择；

因为$n$位同学选择总数为：

$$\prod _{i=1}^{n}365=365^n$$

故不同的选择总数为：
$$E(n)=\prod _{i=1}^n\frac{365}{365-i+1}$$

因此$n$位同学生日不同的数学期望为：

$$E^{{}^{\prime }}(n)=1-E(n)$$

即
$$E^{}$$