算法分析与设计实验七-01背包问题

最新推荐文章于 2025-05-16 14:00:49 发布

iceslime

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文章标签：算法数据结构 c++ 背包问题

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/iceslime/article/details/147082659

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目标函数： maximize∑i=1nvixi

约束条件： ∑i=1nwixi≤C xi∈{0,1}for all i

其中：

vi 是物品 i 的价值
wi 是物品 i 的重量
xi 是一个0/1变量，表示物品 i 是否被选中（1表示选中，0表示未选中）

3. 动态规划的基本思想

01背包问题可以通过动态规划（Dynamic Programming, DP）来高效求解。动态规划的核心思想是将问题分解为子问题，并通过存储子问题的解来避免重复计算。

对于01背包问题，我们可以定义一个二维数组 dp[i][j]，表示前 i 个物品在容量为 j 的背包中所能获得的最大价值。

状态转移方程： dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i−1][j−wi]+vi)

解释：

如果不选择第 i 个物品，则最大价值为 dp[i−1][j]
如果选择第 i 个物品，则最大价值为 dp[i−1][j−wi]+vi

初始条件：

dp[0][j]=0 （没有物品时，价值为0）
dp[i][0]=0 （背包容量为0时，价值为0）

4. 动态规划表的构建

动态规划表的构建过程如下：

初始化一个 (n+1)×(C+1) 的二维数组 dp，所有值初始化为0。
遍历每个物品 i（从1到n）。
对于每个物品 i，遍历背包容量 j（从0到C）。
对于每个 j，根据状态转移方程更新 dp[i][j]。

5. 代码实现

以下是基于动态规划的01背包问题的C++代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n, c;
    cin >> n >> c;

    // 动态规划表
    int dp[n + 1][c + 1];
    // 物品重量和价值
    int w[n], v[n];
    // 选择的物品
    int x[n];

    // 初始化动态规划表
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= c; j++) {
            dp[i][j] = 0;
        }
    }

    // 输入物品重量
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> w[i];
    }

    // 输入物品价值
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> v[i];
    }

    // 填充动态规划表
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= c; j++) {
            if (j < w[i - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]);
            }
        }
    }

    // 输出最大价值
    cout << dp[n][c] << endl;

    // 回溯选择的物品
    int j = c;
    int h = 0;
    for (int i = n; i > 0; i--) {
        if (dp[i][j] != dp[i - 1][j]) {
            x[h++] = i;
            j -= w[i - 1];
        }
    }

    // 输出选择的物品
    for (int i = h - 1; i >= 0; i--) {
        cout << "x" << x[i] << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0;
}

6. 代码解析

输入部分：
- 首先输入物品数量 n 和背包容量 C。
- 然后输入每个物品的重量 w 和价值 v。
动态规划表的初始化：
- 创建一个 (n+1)×(C+1) 的二维数组 dp，所有值初始化为0。
填充动态规划表：
- 对每个物品 i，遍历背包容量 j。
- 如果当前容量 j 小于物品 i 的重量，则不选择该物品。
- 否则，选择该物品或不选择该物品，取两者中的最大值。
回溯选择的物品：
- 从动态规划表的最后一个状态开始，回溯哪些物品被选中。
- 如果 dp[i][j] 不等于 dp[i−1][j]，说明物品 i 被选中，记录下来并更新剩余容量。