[区间DP] POJ1651 最优矩阵链乘（二分创造最优子结构）

最新推荐文章于 2020-11-24 10:56:57 发布

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#区间DP #动态规划 #矩阵链乘

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本文详细解析了矩阵链乘问题的解决方法，介绍了如何通过动态规划寻找最优解，包括状态定义、边界条件、状态转移方程等内容，并给出了具体实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

这里写图片描述

思路

对于每个表达式，一定有一个“最后一次乘法”，比如
$P=A_1 * A_2*...*A_k$
$Q=A_{k+1}*A_{k+2}...*A_n$
由于链乘遵循结合律，所以无论k取在哪，都不会改变最终链乘结果的值（但会改变最优解）。
并且此处的P和Q遵循最优子结构，这是本题的特色，既然这样，就可以遍历k，找出最优的P和Q组成最优解。

1.状态定义：A(i,j)，把 $A_i,A_{i+1},...,A_j$ 乘起来的最小运算量，其中 $A_i$ 代表第i个矩形。
2.边界：A(i,i)=0
3.答案：A(1,n)
4.状态转移方程：

f (i, j) = m i n {f (i, k) + f (k + 1, j) + p i - 1 * p k * p j}

$f(i,j) = min\left\{f(i,k)+f(k+1,j)+p_{i-1}*p_k*p_j\right\}$
5.复杂度：

O(n3)O(n3) $O(n^3)$

代码

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define _for(i,a,b) for(int i = (a); i<(b); i++)
#define _rep(i,a,b) for(int i = (a); i<=(b); i++)
using namespace std;

const int INF = 1 << 30;
const int maxn = 100 + 10;
int n, A[maxn], d[maxn][maxn];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    _for(i, 0, n) scanf("%d", &A[i]);
    n--;

    //_rep(i, 0, n) d[i][i] = 0;
    int j;
    _rep(l, 1, n)
        _rep(i, 1, n) {
            j = i + l;
            if (j > n) continue;
            d[i][j] = INF;
            _rep(k, i, j - 1) {
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k + 1][j] + A[k] * A[i - 1] * A[j]);
            }
        }

    printf("%d\n", d[1][n]);

    return 0;
}

其它

考虑是不是区间DP都是二分做。。