最优矩阵链乘——NBUT 1003

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本文介绍了如何解决NBUT 1003问题，即矩阵链乘法的最优计算方式。通过确保子序列的最优乘法顺序，利用动态规划求解dp[i][j]表示的Ai到Aj的矩阵乘法最小次数。递推过程中，按照j-i递增的顺序进行，以保证长区间依赖短区间的正确性。给出了问题的关键思路和代码实现。

题目链接：https://vjudge.net/problem/NBUT-1003

思路：也是和紫书上的一样，如果最后一次乘法是第k个，则从A1,A2,....Ak和Ak+1,Ak+2......An两个子序列都是最优乘法了，所以我们只需保证两个子结构最优，而子结构也是可以这样划分的，所以我们每次考虑的问题就是，把Ai,Ai+1...Aj乘起来的最少乘法次数，用dp[i][j]表示这个问题的值，有

dp[i][j]=min{dp[i][k]+dp[k+1][j]+pi-1*pk*pj}

关键是递推的次序要搞明白，当时就没做出来，还是参考大神的代码，按照j-i递增的方向递推，因为长区间的值依赖于短区间的值。具体实现还是需要斟酌一下的，代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=210;
const int INF=0x3f3f3f3f;
ll dp[maxn][maxn];
ll p[maxn];

/*
     递推方向如何写还是比较难想的，长区间的值依赖于短区间，
     所以递推的方向为j-i的递增方向，i为集合左端，j为集合右端。
*/

int main()
{
    ll n;
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=0;i<n+1;i++)
        {
            scanf("%lld",&p[i]);
        }
        //长度为1的矩阵集合，都归0，没有乘法计算。
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                if(i==j)
                    dp[i][j]==0;
            }
        }
        for(int x=2;x<=n;x++)//矩阵集合的长度，2,3....n
        {
            for(int i=1;i<=n-x+1;i++)
            {
                //按照j-i递增的顺序递推，因为j是矩阵集合的右端，而长区间的值依赖于短区间
                int j=x+i-1;
                dp[i][j]=INF;
                for(int k=i;k<j;k++)
                {
                    dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]);
                }
            }
        }
        printf("%lld\n",dp[1][n]);
    }
    return 0;
}