[贪心] UVa1614 股市 （结论题）

题目

输入一个长度为n(n<=100000)的序列a，满足1<=$a_i$<=i，要求确定每个数的正负号，使得所有数的和为0.

思路

1.首先我们需要证明，对于满足1≤$a_i$≤i的序列，1~ sum[i]的任意一个整数都可以用a[1~i]的和表示。证明方法是数学强归纳法：
假设对于任何n≤k，上述结论成立。那么只需证明n=k+1也成立即可，即sum[k]+1~ sum[k+1]的任何整数都能被表示即可。
设有p，1≤p≤a[k+1],由此

$$sum[k]+p = sum[k] + a[k+1] - (a[k+1]-p)$$
因为i≤$a_i$≤i，可得
$$sum[k]≥k,a[k+1]-p≤k$$
所以一定可以凑出a[k+1]-p，所以就可以凑出sum[k]+p,即sum[k]+1~ sum[k+1]的任何整数。

2.主要步骤：先求出总sum，若sum为奇数直接输出no，否则在序列中寻找着和为sum/2的若干元素，并给它们加上符号。
3.在序列中寻找和为sum/2的若干元素是，需要将其排序，并从大的开始，否则找不出来。
（原因不明，但这样的方法在很多题都用到了）

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define _for(i,a,b) for(int i = (a); i<(b); i++)
#define ll long long
using namespace std;

const int maxn = 100000+100;
int n;
bool flag[maxn];
struct node{
    int a, k;
    bool operator < (const struct node& rhs) const {
        return a > rhs.a;
    }
}A[maxn];

int main(){
    while (scanf("%d",&n) == 1) {
        memset(flag, 0, sizeof(flag));
        ll sum = 0;
        _for(i, 0, n){
            scanf("%d",&A[i].a);
            A[i].k = i;
            sum+=A[i].a;
        }
        if (sum % 2 != 0) printf("No\n");
        else {
            printf("Yes\n");
            sort(A, A+n);
            ll last = sum/2;
            _for(i, 0, n)
                if (A[i].a <= last){
                    last -= A[i].a;
                    flag[A[i].k] = true;
                }
            _for(i, 0, n)
                if (flag[i]) printf("1 ");
                else printf("-1 ");
            printf("\n");
        }
    }
    return 0;
}

码农小技巧

1.scanf读到文件结尾时，返回的是EOF而不是0，所以如果这道题写成while (scanf(“%d”,&n))的话，会陷入死循环TLE。
（因为此浪费了40min的人生）

感悟

1.刚开始做这道题的时候，也想了很多方法，比如中途相遇，转化法等等。。而这道题的证明结论再贪心是没有见过的，应该得好好理解理解。