74、模拟退火与遗传算法：优化与生物启发的结合

模拟退火与遗传算法：优化与生物启发的结合

1. 模拟退火与图嵌入

1.1 力导向绘图算法

力导向绘图算法是一类基于物理方法计算图的美观嵌入的算法。早期，Peter Eades 提出了用于绘制无向图的弹簧嵌入器模型，随后 Kamada 和 Kawai 对其进行了改进，引入了最优边长度和顺序顶点更新的思想。然而，使用梯度下降法来使算法达到最小能量状态时，容易陷入局部最小值，无法达到可能的最小能量状态。

1.2 模拟退火的应用

模拟退火算法可以帮助解决梯度下降法陷入局部最小值的问题。Davidson 和 Harel 首次使用该技术来收敛到最优嵌入，同时避免局部陷阱。不过，标准模拟退火算法的随机搜索会导致收敛速度过慢。为了克服这一限制，一些混合解决方案被提出，其中 GEM 算法因其创新方法和出色结果脱颖而出。GEM 算法借鉴了模拟退火中的温度概念，但没有冷却循环，温度用于控制顶点更新时的移动范围，并在更新后为每个顶点计算，以平滑顶点的振荡。

1.3 Davidson 和 Harel 算法

由于 GEM 算法不能直接作为模拟退火的实例应用，我们采用 Davidson 和 Harel 开发的算法，该算法产生的结果质量相当。该算法使用五个标准来判断图嵌入的质量：
1. 均匀分布节点，使顶点在画布中均匀分布。
2. 使顶点远离边界。
3. 使边长度均匀。
4. 最小化边交叉。
5. 避免顶点与边重叠，使顶点不靠近边。

这些标准转化为成本函数的五个组成部分：
1. 对于两个顶点 (v_i) 和 (v_j)，使用公式 (\frac{\lambda_1