蓝书（算法竞赛进阶指南）刷题记录——CH6201 走廊泼水节（最小生成树）

最新推荐文章于 2024-06-24 21:09:13 发布

原创最新推荐文章于 2024-06-24 21:09:13 发布 · 203 阅读

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本文介绍了一种算法，用于解决将给定树扩充至完全图，且原树为该完全图唯一最小生成树的问题，同时计算扩充边的最小边权总和。通过Kruskal算法的变体，利用并查集合并树的联通块，巧妙计算出所有新增边的边权，最终得出最优解。

题目：CH6201.
题目大意：给定一棵 $n$ 个点的树，让你扩充成一张完全图，使得原树是这张完全图的唯一最小生成树，并输出加的边的最小边权和.
$1\leq n\leq 6000$ ，边权 $\leq 100$ ，数据组数 $\leq 10$ .

这道题用了一个类似于Kruskal的东西，然后顺便计算出了最小边权和.

首先，我们将树拆开，将边排序，然后不断用并查集合并.

每合并一次，我们设合并的两个联通块为 $x$ 和 $y$ ，那么合并时就会 $x$ 和 $y$ 之间除了已有的这条边本身，其它边的边权都要大于已有的这条边.

而且我们可以发现，其它边的限制条件肯定只有大于这条边和比这条边小的树边，所以我们发现其它边的边权只要设成这条边的边权 $+ 1$ 即可.

那么我们就kruskal的同时，每当加入一条边，就将答案加上其它的边的边权，我们发现其它边的数量即为 $x$ 的大小乘上 $y$ 的大小减 $1$ ，边权都为这条边的边权加 $1$ .写成公式即为：
$a n s = a n s + (x . s i z e * y . s i z e - 1) * (v [i] + 1) .$

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
#define Abigail inline void
typedef long long LL;
const int N=6000;
struct side{
  int x,y,v;
  bool operator < (const side p)const{return v<p.v;}
}e[N+9];
int ans,n;
int fa[N+9],cnt[N+9];
int get(int u){return fa[u]=u^fa[u]?get(fa[u]):u;}
Abigail into(){
  scanf("%d",&n);
  for (int i=1;i<n;i++)
    scanf("%d%d%d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].v);
}
Abigail work(){
  ans=0;
  for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i,cnt[i]=1;
  stable_sort(e+1,e+n);
  for (int i=1;i<n;i++){
    ans+=(e[i].v+1)*(cnt[get(e[i].x)]*cnt[get(e[i].y)]-1);
    cnt[get(e[i].x)]+=cnt[get(e[i].y)];
    fa[get(e[i].y)]=get(e[i].x);
  }
}
Abigail outo(){
  printf("%d\n",ans);
}
int main(){
  int T;
  scanf("%d",&T);
  while (T--){
    into();
    work();
    outo();
  }
  return 0;
}