算法快学笔记（十四）：图的最小生成树算法

最新推荐文章于 2022-07-11 10:02:32 发布

铁猴

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分类专栏：趣学算法与数据结构文章标签：图算法最小生成树 Prim Kruskal Python

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/eric_sunah/article/details/102724378

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本文介绍了最小生成树的概念及其在电信网络连接中的应用。详细探讨了普利姆(Prim)算法和克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，包括它们的原理、Python代码实现及实例分析。总结了两种算法的特点和适用场景。

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1. 介绍

最小生成树的应用场景很广，例如电信公司需要将9个村庄进行网络连接，村庄间的距离都不相同，怎么连接才能达到成本最小了？村庄结构图如下：
在这里插入图片描述

V0-V10分别表示村庄，节点间的权重代表距离，连接所有节点的总距离最小，就可以让成本更低。

定义：把构造连通整个图的最小代价生成树称为最小生成树。

2. 相关算法

普利姆与克鲁斯卡尔算法都是贪心算法

2.1 普利姆(Prim)算法

2.1.1 原理

普里姆算法（Prim算法）：该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

算法的基本步骤如下：

输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
重复下列操作，直到Vnew = V：

在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；

输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。

算法实例推理步骤如下：
在这里插入图片描述

2.1.2 代码实现

基于邻接矩阵存储结构用Python实现的代码如下：

# -*- coding:utf-8 -*-
# @Author：sunaihua
"""
普里姆算法（Prim算法）:最小生成树算法
本实现基于邻接矩阵存储结构
"""
MAX_VALUE = 65536

# 图结构的矩阵存储
graph = [
    [0, 10, MAX_VALUE, MAX_VALUE, MAX_VALUE, 11, MAX_VALUE, MAX_VALUE, MAX_VALUE],
    [10, 0, 18, MAX_VALUE, MAX_VALUE, MAX_VALUE, 16, MAX_VALUE, 12],
    [MAX_VALUE, MAX_VALUE, 0, 22, MAX_VALUE, MAX_VALUE, MAX_VALUE, MAX_VALUE, 8],
    [MAX_VALUE, MAX_VALUE, 22, 0, 20, MAX_VALUE, MAX_VALUE, 16, 21],
    [MAX_VALUE, MAX_VALUE, MAX_VALUE, 20, 0, 26, MAX_VALUE, 7, MAX_VALUE],
    [11, MAX_VALUE, MAX_VALUE, MAX_VALUE, 26, 0, 17, MAX_VALUE, MAX_VALUE],
    [MAX_VALUE, 16, MAX_VALUE, MAX_VALUE, MAX_VALUE, 17, 0, 19, MAX_VALUE],
    [MAX_VALUE, MAX_VALUE, MAX_VALUE, 16, 7

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