最优化方法：线性规划标准化和单纯形表格法

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#算法

于 2024-11-04 23:51:46 首次发布

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前言

小记一下，求解线性规划的单纯形法。

一、线性规划标准型

1.1标准型形式

形如：

称为线性规划问题的标准型

其中,

$eq?A$	是 $eq?m%5Ctimes%20n$ 矩阵，且 $eq?m%3C%20n$ ， $eq?rankA%3Dm$
$eq?c$	为 $eq?n$ 维列向量，即 $eq?c%5E%7BT%7D$ 为 $eq?n$ 维行向量
$eq?b$	为 $eq?m$ 维列向量，且假设 $eq?b%5Cgeqslant%200$

线性规划问题的理论和算法基本都是基于标准型得到的，实际出现的任何线性规划问题都可以通过变换转为标准型。

(1)如果原问题是极大化目标函数，即 $eq?%5Cmax%20c%5E%7BT%7Dx$ 。这时只需将目标函数乘以(−1)，则可等价地将其转化为极小化问题, $eq?%5Cmin%20c%5E%7BT%7Dx$ 。

(2)如果右端项 $eq?b$ 中的第 $eq?i$ 个元素是负的, 则在第i个约束方程两边同乘以−1，将其改成右端项非负的不等式。

(3)若约束方程为≤不等式，则可在相应不等式的左端加上非负松弛变量，将原≤ 不等式变为等式。若约束方程为≥不等式，则可在相应不等式的左端减去非负剩余变量，将原≥不等式变为等式。(松弛变量和剩余变量没啥区别，就是名字不一样，个人感觉)

(4)如果某个变量 $eq?x_%7Bi%7D$ 是无非负限制的自由变量，则总可以引入两个非负变量 $eq?%7Bx_%7Bi%7D%7D%27$ , $eq?%7Bx_%7Bi%7D%7D%27%27$ 使得 $eq?x_%7Bi%7D%3D%7Bx_%7Bi%7D%7D%27-%7Bx_%7Bi%7D%7D%27%27$ 。

1.2标准型例题

将下面线性规划问题转化为标准型。

解：令 $eq?x_%7B2%7D%3D%7Bx_%7B2%7D%7D%27-%7Bx_%7B2%7D%7D%27%27$ ，其中 $eq?%7Bx_%7B2%7D%7D%27%5Cgeqslant%200%2C%7Bx_%7B2%7D%7D%27%27%5Cgeqslant%200$ 。引入剩余变量 $eq?x_%7B5%7D%5Cgeqslant%200$ ，引入松弛变量 $eq?x_%7B6%7D%5Cgeqslant%200$ ，则标准型为

例题用到了处理方法(1)(2)(3)(4)，实际情况中可能只用到其中一部分。

二、单纯形表格法

2.1相关概念和定义

将 $eq?A$ 写成分块矩阵 $eq?A%3D%5Cleft%20%5B%20B%2CN%20%5Cright%20%5D$ ，记 $eq?x%3D%20%5Cbinom%7Bx_%7BB%7D%7D%7Bx_%7BN%7D%7D$ ， $eq?c%5E%7BT%7D%3D%28c_%7BB%7D%5E%7BT%7D%2Cc_%7BN%7D%5E%7BT%7D%29$ 。

因此 $eq?Ax%3Db$ 可以写成 $eq?Bx_%7BB%7D+Nx_%7BN%7D%3D%20b$ 得

$eq?x_%7BB%7D%3DB%5E%7B-1%7Db-B%5E%7B-1%7DNx_%7BN%7D$

再令 $eq?x_%7BN%7D%3D0$ ，得到 $eq?Ax%3Db$ 的一个解 $eq?x%3D%20%5Cbinom%7BB%5E%7B-1%7Db%7D%7B0%7D$ 。

其中：

$eq?B$	是矩阵 $eq?A$ 中 $eq?m%5Ctimes%20m$ 阶非奇异子矩阵 $eq?%5Cleft%20%28%20%5Cleft%20%7C%20B%20%5Cright%20%7C%5Cneq%200%20%5Cright%20%29$ ，矩阵 $eq?B$ 是线性规划问题的一个基。
$eq?N$	是 $eq?A$ 中剩余列向量组成的 $eq?m%5Ctimes%20%28n-m%29$ 矩阵

基本解、可行解、基本可行解、最优基本可行解

$eq?Ax%3Db$	$eq?x%3D%20%5Cbinom%7BB%5E%7B-1%7Db%7D%7B0%7D$ ，即 $eq?x_%7BN%7D%3D0$	基本解		基本可行解	最优基本可行解
	$eq?x%3D%20%5Cbinom%7Bx_%7BB%7D%7D%7Bx_%7BN%7D%7D%5Cgeqslant%200$	可行解	最优可行解
	使 $eq?f%3D%20c%5E%7BT%7Dx$ 取得最小值

2.2单纯形表法

单纯形表法的目标是求解最优基本可行解，形如：

其中： $eq?B_%7Bk%7D$ 为基矩阵， $eq?x_%7BB%7D%5E%7B%28k%29%7D$ 为基变量。在 $eq?x%5E%7B%28k%29%7D$ 处的目标函数值为

先对线性规划问题做等价变换，引入中间变量 $eq?f$ 让线性规划问题的形式往最优可行解的形式靠近。

$eq?min$ $eq?f$

$eq?s.t.$ $eq?Ax%3Db$

$eq?f-c%5E%7BT%7Dx%3D0$

$eq?x%5Cgeq%200$

$eq?A%3D%5Cleft%20%5B%20B%2CN%20%5Cright%20%5D$ ，记 $eq?x%3D%20%5Cbinom%7Bx_%7BB%7D%7D%7Bx_%7BN%7D%7D$ ， $eq?c%5E%7BT%7D%3D%28c_%7BB%7D%5E%7BT%7D%2Cc_%7BN%7D%5E%7BT%7D%29$ 则

由上述约束方程系数得到如下单纯形表,其包含了单纯形方法所需要的所有数据。

下面我们讨论如何用单纯形表求解标准线性规划问题。由于单纯形表中已经包含了m阶单位矩阵，因此已经给出了一个基本可行解。

记 $eq?z_%7Bj%7D%3Dc_%7BB%7D%5E%7BT%7DB%5E%7B-1%7DN_%7Bj%7D%2Cj%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D_%7Bk%7D$ ，其中 $eq?%5Cmathbb%7BN%7D_%7Bk%7D$ 为非基本变量指标集（除去Im剩下的，就是xN下面对应的列）。我们称 $eq?z_%7Bj%7D-c_%7Bj%7D$ 为判别数或检验数。

(1)停机准则

若所有判别数都小于等于0，即 $eq?c_%7BB%7D%5E%7BT%7DB%5E%7B-1%7DN-c_%7BN%7D%5E%7BT%7D$ $eq?%5Cleq%200$ ，则现行基本可行解是最优解。

(2)改进基本可行解

若存在指标使得 $eq?c_%7BB%7D%5E%7BT%7DB%5E%7B-1%7DN-c_%7BN%7D%5E%7BT%7D$ $eq?%3E%200$

我们需要进行主元消去法求解改进的基本可行解。由

决定 $eq?x_%7Bp%7D$ 为进基变量，它所对应的列为主列。

再令 $eq?%5Cbar%7Bb%7D%3DB%5E%7B-1%7Db%2Cy_%7Bp%7D%3DB_%7Bk%7D%5E%7B-1%7DN_%7Bp%7D$ 由

决定第 $eq?r$ 行为主行。主行和主列交叉的元素 $eq?y_%7Brp%7D$ 为主元。然后进行主元消去法，使得主列化为单位列向量。

一般地，我们通过从原始变量、引入的松弛变量或人工变量选取初始基变量，使得相应初始基矩阵为单位阵，即 $eq?B%3DI$ ，然后计算初始的判别数得到初始单纯形表。

2.3单纯形法例题

用单纯形方法求解下列线性规划问题：

解：引入松弛变量 $eq?x_%7B4%7D%2Cx_%7B5%7D%2Cx_%7B6%7D$ 转化为标准型：

由标准型，可选取为 $eq?x_%7B4%7D%2Cx_%7B5%7D%2Cx_%7B6%7D$ 基变量，建立单纯形表：

基变量	$eq?c_%7BB%7D$	$eq?x_%7B1%7D$ $eq?x_%7B2%7D$ $eq?x_%7B3%7D$ $eq?x_%7B4%7D$ $eq?x_%7B5%7D$ $eq?x_%7B6%7D$ 1 -3 -1 0 0 0	$eq?b$	$eq?%5Cfrac%7Bb_%7Bi%7D%7D%7By_%7Bip%7D%7D$
$eq?x_%7B4%7D$ $eq?x_%7B5%7D$ $eq?x_%7B6%7D$	0 0 0	3 -1 2 1 0 0 -2 4 0 0 1 0 -4 3 8 0 0 1	7 12 10	7/-1 12/4 10/3
$eq?z_%7Bp%7D$		0 0 0 0 0 0	0
$eq?z_%7Bp%7D-c_%7Bp%7D$		-1 3 1 0 0 0	0

其中： $eq?B%3DI$ , $eq?z_%7Bp%7D$ = $eq?c_%7BB%7D%5E%7BT%7DB%5E%7B-1%7DN$ ， $eq?c_%7Bp%7D$ = $eq?c_%7BN%7D%5E%7BT%7D$

由于 $eq?z_%7B2%7D-c_%7B2%7D%3Dmax%5Cleft%20%5C%7B%20z_%7Bi%7D-c_%7Bi%7D%20%5Cright%20%5C%7D%3D3$ ，因此取第2列作为主列， $eq?x_%7B2%7D$ 为进基变量。由于 $eq?%5Cfrac%7B%5Cbar%7Bb_%7B2%7D%7D%7D%7By_%7B22%7D%7D%3Dmin%5Cleft%20%5C%7B%20%5Cfrac%7B12%7D%7B4%7D%20%2C%5Cfrac%7B10%7D%7B3%7D%5Cright%20%5C%7D%3D3$ ,因此取第2行为主行，且x5为出基变量。主元为 $eq?y_%7B22%7D%3D4$ ，进行主元消去，将变量x2对应的列变换为单位列向量。新的基变量为x4,x2,x6。得到下表。

基变量	$eq?c_%7BB%7D$	$eq?x_%7B1%7D$ $eq?x_%7B2%7D$ $eq?x_%7B3%7D$ $eq?x_%7B4%7D$ $eq?x_%7B5%7D$ $eq?x_%7B6%7D$ 1 -3 -1 0 0 0	$eq?b$	$eq?%5Cfrac%7Bb_%7Bi%7D%7D%7By_%7Bip%7D%7D$
$eq?x_%7B4%7D$ $eq?x_%7B2%7D$ $eq?x_%7B6%7D$	0 -3 0	5/2 0 2 1 1/4 0 -1/2 1 0 0 1/4 0 -5/2 0 8 0 -3/4 1	10 3 1	10/2 1/8
$eq?z_%7Bp%7D$		1/2 -3 0 0 -3/4 0	-9
$eq?z_%7Bp%7D-c_%7Bp%7D$		1/2 0 1 0 -3/4 0	-9

由于 $eq?z_%7B3%7D-c_%7B3%7D%3Dmax%5Cleft%20%5C%7B%20z_%7Bi%7D-c_%7Bi%7D%20%5Cright%20%5C%7D%3D1$ ，因此取第3列作为主列， $eq?x_%7B3%7D$ 为进基变量。由于 $eq?%5Cfrac%7B%5Cbar%7Bb_%7B3%7D%7D%7D%7By_%7B33%7D%7D%3Dmin%5Cleft%20%5C%7B%20%5Cfrac%7B10%7D%7B2%7D%20%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D%5Cright%20%5C%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D$ ,因此取第3行为主行，且x6为出基变量。主元为 $eq?y_%7B33%7D%3D8$ ，进行主元消去，将变量x3对应的列变换为单位列向量。新的基变量为x4,x2,x3。得到下表。

基变量	$eq?c_%7BB%7D$	$eq?x_%7B1%7D$ $eq?x_%7B2%7D$ $eq?x_%7B3%7D$ $eq?x_%7B4%7D$ $eq?x_%7B5%7D$ $eq?x_%7B6%7D$ 1 -3 -1 0 0 0	$eq?b$	$eq?%5Cfrac%7Bb_%7Bi%7D%7D%7By_%7Bip%7D%7D$
$eq?x_%7B4%7D$ $eq?x_%7B2%7D$ $eq?x_%7B3%7D$	0 -3 -1	8/25 0 0 1 7/16 -1/4 -1/2 1 0 0 1/4 0 -5/16 0 1 0 -3/32 1/8	39/4 3 1/8	78/25
$eq?z_%7Bp%7D$		29/16 -3 -1 0 -21/32 -1/8	-73/8
$eq?z_%7Bp%7D-c_%7Bp%7D$		13/16 0 0 0 -21/32 -1/8	-73/8

由于 $eq?z_%7B1%7D-c_%7B1%7D%3Dmax%5Cleft%20%5C%7B%20z_%7Bi%7D-c_%7Bi%7D%20%5Cright%20%5C%7D%3D%5Cfrac%7B13%7D%7B16%7D$ ，因此取第1列作为主列， $eq?x_%7B1%7D$ 为进基变量。由于 $eq?%5Cfrac%7B%5Cbar%7Bb_%7B1%7D%7D%7D%7By_%7B11%7D%7D%3Dmin%5Cleft%20%5C%7B%20%5Cfrac%7B39%7D%7B4%7D%20%2C%5Cfrac%7B8%7D%7B25%7D%5Cright%20%5C%7D%3D%5Cfrac%7B8%7D%7B25%7D$ ,因此取第1行为主行，且x4为出基变量。主元为 $eq?y_%7B11%7D%3D%5Cfrac%7B8%7D%7B25%7D$ ，进行主元消去，将变量x1对应的列变换为单位列向量。新的基变量为x,x2,x3。得到下表。

基变量	$eq?c_%7BB%7D$	$eq?x_%7B1%7D$ $eq?x_%7B2%7D$ $eq?x_%7B3%7D$ $eq?x_%7B4%7D$ $eq?x_%7B5%7D$ $eq?x_%7B6%7D$ 1 -3 -1 0 0 0	$eq?b$	$eq?%5Cfrac%7Bb_%7Bi%7D%7D%7By_%7Bip%7D%7D$
$eq?x_%7B1%7D$ $eq?x_%7B2%7D$ $eq?x_%7B3%7D$	1 -3 -1	1 0 0 8/25 7/50 -2/25 0 1 0 4/25 8/25 -1/25 0 0 1 1/10 -1/20 1/10	78/25 114/25 1/10
$eq?z_%7Bp%7D$		1 -3 -1 -13/50 -77/100 -3/50	-583/50
$eq?z_%7Bp%7D-c_%7Bp%7D$		0 0 0 -13/50 -77/100 -3/50	-583/50