凸优化第七章统计估计 7.3 最优检测器设计及假性检验_最有检测器设计及假设检验的方法-优快云博客

7.3 最优检测器设计及假性检验

二值假设检验

检测问题
随机检测器
检测概率矩阵
检测器设计的多准则表述
标量化

检测问题：

假设X是随机变量，在 $\left \{ 1,2\cdots n \right \}$ 中取值，其概率密度分布和参数 $\theta\in\left \{ 1,2,\cdots ,m \right \}$ 的取值有关，对 $\theta$ 的m个可能值，X的概率密度分布可以由矩阵 $P \in R^{n\times m}$ 表征，其元素为： $p_{kj}=prob(X=k|\theta =j)$ ，即矩阵的第j列对于参数值 $\theta =j$ 的概率分布。

对 $\theta$ 的m个可能值称为m个假设，我们需要从假设中猜想哪个是正确的，这个问题称为假设检验，而假设检验也可以看成观测到X的某个取值，然后判断不寻常事件（某种假设为一种常规事件，而其他假设均对应不寻常事件）是否发生，如果发生了，是哪一个不寻常事件。于是假设检验问题又称为检测问题。

二值假设检验，即一种特殊的检验问题，即m=2，只有两个假设。这里X是随机变量，且 $X\in \left \{ 1,2,\cdots,n \right \}$ ，假设1：X由概率密度分布 $p=(p_1\cdots,p_n)$ 产生；假设2：X由概率密度分布 $q=(q_1\cdots,q_n)$ 产生；

随机检测器

随机检测器可以定义为一个矩阵 $T \in R^{m\times n}$ ，其元素为 $t_{ik}=prob(\hat{\theta}=i|X=k)$ ，其中 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的猜想值，k是X的观测值。T可以理解为，如果我们得到观测值X=k，那么检测器以概率 $t_{ik}$ 给出估计值 $\hat{\theta}=i$ 。显然T满足两个约束， $\forall k \in \left\{1,\cdots m \right \}t_k\succeq 0,\boldsymbol{1}^Tt_k=1$ 。

在二值假设检验中：如果观测到X=k，估计假设1的概率为 $t_{1k}$ ，估计假设2的概率为 $t_{2k}$ 。

如果矩阵T的元素要么是0，要么是1，则矩阵T是确定性检测器。

检测概率矩阵

定义检测矩阵D=TP，于是有 $D_{ij}=(TP)_{ij}=prob(\hat{\theta}=i|\theta =j)$ ，即 $D_{ij}$ 是当 $\theta =j$ 时，猜想为 $\hat{\theta}=i$ 的概率。

二值假设检验中：

$D =[Tp \, \, Tq]=\begin{bmatrix} 1-P_{fp} &P_{fn} \\ P_{fp} & 1-P_{fn} \end{bmatrix}$

其中 $P_{fp}$ 表示X是由分布p产生但却被估计为假设2（由分布q产生）的概率， $P_{fn}$ 表示X是由分布q产生但却被估计为假设1（由分p产生）的概率。

检测器设计的多准则表述

对于二值假设检验问题，检测器设计的目标就是极小化 $P_{fp}$ 和 $P_{fn}$ ，即

$minimize \, \, (p_{fp},p_{fn})\\ subject \, \, to \, \, \begin{matrix} t_{1k}+t_{2k}=1,i=1,\cdots ,n \\ t_{ik}\geq 0,i=1,2\, \,k=1, \cdots n \end{matrix}$