电磁场公式

矢量分析

梯度和方向倒数

• 标量场 $\phi$ 的梯度为

$$grad\phi =\nabla \phi =\overrightarrow{e_x}\frac{\partial \phi }{\partial x}+\overrightarrow{e_y}\frac{\partial \phi }{\partial y}+\overrightarrow{e_z}\frac{\partial \phi }{\partial z}$$

• 标量场在 $\vec{l}$ 方向上（单位矢量为 $\overrightarrow{l^{\circ }}$）的方向导数为

$$\frac{\partial \phi }{\partial l}=\nabla \phi \cdot \overrightarrow{l^{\circ }}$$

散度

$$div\vec{A}=\nabla \cdot \vec{A}$$

• 散度定理

$${\int }_V\nabla \cdot \vec{A}dV={\oint }_S\vec{A}\cdot d\vec{S}$$

旋度

$$rot\vec{A}=\nabla \times \vec{A}$$

• 斯托克斯定理

$${\int }_S(\nabla \times \vec{A})\cdot d\vec{S}={\oint }_l\vec{A}\cdot d\vec{l}$$

哈密尔顿微分算符

• 直角坐标系

$$\nabla =\overrightarrow{e_x}\frac{\partial }{\partial x}+\overrightarrow{e_y}\frac{\partial }{\partial y}+\overrightarrow{e_z}\frac{\partial }{\partial z}$$

• 圆柱坐标系

$$\nabla =\overrightarrow{e_r}\frac{\partial }{\partial r}+\overrightarrow{e_{\varphi }}\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \varphi }+\overrightarrow{e_z}\frac{\partial }{\partial z}$$

• 球面坐标系

$$\nabla =\overrightarrow{e_r}\frac{\partial }{\partial r}+\overrightarrow{e_{\theta }}\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }+\overrightarrow{e_{\varphi }}\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }$$

拉普拉斯微分算子

• 直角坐标系

$${\nabla }^2\phi =\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\phi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\phi }{\partial z^2}$$

• 圆柱坐标系

$${\nabla }^2\phi =\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r\frac{\partial \phi }{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2\phi }{\partial {\phi }^2}+\frac{{\partial }^2\phi }{\partial z^2}$$

• 球面坐标系

$${\nabla }^2\phi =\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(r^2\frac{\partial \phi }{\partial r})+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial \phi }{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2\phi }{\partial {\varphi }^2}$$

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静电场

库仑定律

点电荷 $q^{\prime }$ 位于 $\overrightarrow{r^{\prime }}$；点电荷 $q$ 位于 $\vec{r}$；点电荷 $q^{\prime }$ 到点电荷 $q$ 为 $\vec{R}=\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime }}$。$q^{\prime }$ 对 $q$ 的库仑力为

$$\vec{F}=\frac{q^{\prime }q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\vec{R}}{R^3}$$

电场强度

位于 $\overrightarrow{r^{\prime }}$ 的点电荷 $q^{\prime }$ 在 $\vec{r}$ 处产生的电场强度为

$$\vec{E}=\frac{q^{\prime }}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\vec{R}}{R^3}$$

高斯定理

• 闭合曲面 $S$ 包含的总电荷为 $Q$，则该闭合曲面的通量为

$${\oint }_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q}{{\epsilon }_0}$$

• 微分形式（电场强度的散度）

$$\begin{array}{rl}\nabla \cdot \vec{E}& =\frac{\rho }{{\epsilon }_0}\\ {\oint }_S\vec{E}\cdot d\vec{S}& =\frac{q}{{\epsilon }_0}\end{array}$$

• 电场强度的旋度

$$\begin{array}{rl}\nabla \times \vec{E}& =\vec{0}\\ {\oint }_l\vec{E}\cdot d\vec{l}& =0\end{array}$$

静电场的电位

• 电场强度与电位的关系

$$\vec{E}=-\nabla \phi$$

• 位于 $\overrightarrow{r^{\prime }}$ 的点电荷 $q^{\prime }$ 在 $\vec{r}$ 处的电位为

$$\phi (\vec{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^{\prime }}{|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime }}|}$$

• 静电场中两点间的电位差为

$$\phi (P)-\phi (P_0)={\int }_P^{P_0}\vec{E}\cdot d\vec{l}$$

• 泊松方程

$${\nabla }^2\phi =-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$$

电偶极子

• 两个等量异种电荷 $-q$ 和 $q$，负电荷到正电荷的有向距离为 $\vec{l}$，则电偶极矩为

$$\vec{p}=q\vec{l}$$

• 取电偶极矩的中心在坐标原点，

$$\phi =\frac{\vec{p}\cdot \vec{r}}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}$$

$$\vec{E}=\frac{p}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}(\overrightarrow{e_r}2\cos \theta +\overrightarrow{e_{\theta }}\sin \theta )$$

电介质（绝缘体）的极化强度

• 体积 $\Delta V$ 里电偶极矩之和为 $\sum \vec{p}$，则极化强度为

$$\vec{P}=\underset{\Delta V\to 0}{\lim }\frac{\sum p}{\Delta V}$$

• 极化介质产生的极化电荷可以看作等效体电荷和等效面电荷，分别为

$${\rho }_p(\vec{r})=-\nabla \cdot \overrightarrow{P(\stackrel{⃗}{r})}$$

$${\rho }_{sp}=\vec{P}(\vec{r})\cdot \vec{n}$$

电位移矢量

在电介质中，电场由自由电荷 $\rho$ 和极化电荷（束缚电荷） ${\rho }_p$ 共同产生。

• 极化介质中的电场强度为 $\vec{E}$，极化强度为 $\vec{P}$，则电位移矢量为

$$\vec{D}={\epsilon }_0\vec{E}+\vec{P}$$

• 电介质中的场方程

$$\begin{array}{rl}\nabla \cdot \vec{D}& =\rho \\ {\oint }_S\vec{D}\cdot d\vec{S}& =q\\ \nabla \times \vec{E}& =\vec{0}\end{array}$$

电介质的电位

对于均匀介质（$\epsilon$ 为常数），

$${\nabla }^2\phi =-\frac{\rho }{\epsilon }$$

介电常数

若介质是线性各向同性（均匀介质），介质的相对介电常数为 ${\epsilon }_r$，介质的介电常数为 $\epsilon$，极化率为 ${\chi }_e$。

• 极化强度为

$$\vec{P}={\epsilon }_0{\chi }_e\vec{E}$$

• 电位移矢量为

$$\begin{array}{rl}\vec{D}=& ={\epsilon }_0(1+{\chi }_e)\vec{E}\\ & ={\epsilon }_0{\epsilon }_r\vec{E}\\ & =\epsilon \vec{E}\end{array}$$

静电场的边界条件

• 分界面两侧的介电常数分别为 ${\epsilon }_1$ 和 ${\epsilon }_2$，分界面的法向量为 $\vec{n}$，分界面上的自由电荷密度为 ${\rho }_s$，则边界条件为

$$\begin{array}{rl}\vec{n}\cdot ({\vec{D}}_2-{\vec{D}}_1)={\rho }_s& or{D}_{2n}-D_{1n}={\rho }_s\\ \vec{n}\times ({\vec{E}}_2-{\vec{E}}_1)=\vec{0}& or{E}_{2t}=E_{1t}\end{array}$$

• 电介质边界的电位

$$\begin{array}{rl}& {\phi }_1={\phi }_2\\ & {\rho }_s=-{\epsilon }_2\frac{\partial {\phi }_2}{\partial n}+{\epsilon }_1\frac{\partial {\phi }_1}{\partial n}\end{array}$$

• 介质 ${\epsilon }_1$ 和介质 ${\epsilon }_2$ 中电力线与法线的夹角分别为 ${\theta }_1$ 和 ${\theta }_2$，关系为

$$\frac{\tan {\theta }_1}{\tan {\theta }_2}=\frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}$$

• 对于导体，内部电荷为零，仅考虑外部场 $\vec{E}$ 和 $\vec{D}$，外法线 $\vec{n}$，边界条件为

$$\begin{array}{rl}{D}_n& ={\rho }_s\\ E_t& =0\end{array}$$

静电场的能量密度和电场能量

• 能量密度

$${\omega }_e=\frac{1}{2}\vec{E}\cdot \vec{D}$$

• 电场能量

$$W_e=\frac{1}{2}{\int }_V\vec{E}\cdot \vec{D}dV$$

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恒定电流的电场和磁场

电流密度

正电荷运动的方向为 $\vec{n}$，取与 $\vec{n}$ 垂直的面积元 $\Delta S$，通过面积元的电流为 $\Delta I$，则电流密度为

$$\vec{J}=\underset{\Delta S\to 0}{\lim }\frac{\Delta I}{\Delta S}\vec{n}$$

• 通过任意面积 $S$ 的电流强度为

$$I={\int }_S\vec{J}\cdot d\vec{S}$$

欧姆定律的微分形式（传导电流）

线性各向同性的导体的电导率为 $\sigma$，则电流密度为

$$\vec{J}=\sigma \vec{E}$$

焦耳定律的微分形式（传导电流）

导体内的热功率密度为

$$p=\vec{J}\cdot \vec{E}$$

恒定电流场的基本方程

$$\begin{array}{rl}\nabla \cdot \vec{J}& =0\\ {\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{S}& =0\\ \nabla \times \vec{E}& =\vec{0}\\ {\oint }_l\vec{E}\cdot d\vec{l}& =0\end{array}$$

• 均匀导体（电导率为常数）内部电荷动态为零，则

$$\begin{array}{rl}\nabla \cdot \vec{E}& =0\\ {\nabla }^2\phi & =0\end{array}$$

恒定电流场的边界条件

• 分界面两侧的电导率分别为 ${\sigma }_1$ 和 ${\sigma }_2$，分界面的法向量为 $\vec{n}$，分界面上的自由电荷密度为 ${\rho }_s$，则边界条件为

$$\begin{array}{rl}\vec{n}\cdot ({\vec{J}}_2-{\vec{J}}_1)& =0or{J}_{1n}=J_{2n}\\ \vec{n}\times ({\vec{E}}_2-{\vec{E}}_1)& =\vec{0}or{E}_{1t}=E_{2t}\end{array}$$

• 导体边界的电位

$$\begin{array}{rl}{\phi }_1& ={\phi }_2\\ {\sigma }_1\frac{\partial {\phi }_1}{\partial n}& ={\sigma }_2\frac{\partial {\phi }_2}{\partial n}\end{array}$$

• 介质 ${\sigma }_1$ 和介质 ${\sigma }_2$ 中电流线与法线的夹角分别为 ${\theta }_1$ 和 ${\theta }_2$，关系为

$$\frac{\tan {\theta }_1}{\tan {\theta }_2}=\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}$$

• 导体内部的电荷为零，电荷只能分布在表面上（$J_{1n}=J_{2n}=J_n$）：

$${\rho }_s=D_{2n}-D_{1n}=\frac{{\epsilon }_2}{{\sigma }_2}{J}_{2n}-\frac{{\epsilon }_1}{{\sigma }_1}{J}_{1n}=J_n(\frac{{\epsilon }_2}{{\sigma }_2}-\frac{{\epsilon }_1}{{\sigma }_1})$$

磁感应强度

$$\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\oint }_C\frac{Id\vec{l}\times \vec{R}}{R^3}$$

• 磁感应强度与矢量磁位的关系

$$\vec{B}=\nabla \times \vec{A}$$

恒定磁场的基本方程

$$\{\begin{array}{l}\nabla \cdot \vec{B}=0\\ {\oint }_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}\nabla \times \vec{B}={\mu }_0\vec{J}\\ {\oint }_C\vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_{0}I\end{array}$$

磁偶极子

一个载流回路的面积为 $\vec{S}$，电流为 $I$，则磁偶极矩为

$$\vec{m}=I\vec{S}$$

• 矢量磁位为

$$\vec{A}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{\vec{m}\times \vec{r}}{r^3}$$

• 球面坐标系下的磁感应强度

$$\vec{B}=\frac{{\mu }_{0}m}{4\pi r^3}({\vec{e}}_{r}2\cos \theta +{\vec{e}}_{\theta }\sin \theta )$$

磁介质的磁化强度

• 体积为 $\Delta V$ 的磁介质中，总的磁偶极矩为 $\sum \vec{m}$，则磁化强度为

$$\vec{M}=\underset{\Delta V\to 0}{\lim }\frac{\sum \vec{m}}{\Delta V}$$

• 介质磁化产生的磁化电流由体电流和面电流组成，为

$$\begin{array}{rl}& {\vec{J}}_m=\nabla \times \vec{M}\\ & {\vec{J}}_{mS}=\vec{M}\cdot \vec{n}\end{array}$$

磁场强度

$$\vec{H}=\frac{\vec{B}}{{\mu }_0}-\vec{M}$$

磁导率

若介质是线性各向同性（均匀介质），介质的相对磁导率为 ${\mu }_r$，介质的磁导率为 $\mu$，极化率为 ${\chi }_m$。

• 磁化强度为

$$\vec{M}={\chi }_m\vec{H}$$

• 磁感应强度为

$$\begin{array}{rl}\vec{B}& ={\mu }_0(\vec{H}+\vec{M})\\ & ={\mu }_0(1+{\chi }_m)\vec{H}\\ & ={\mu }_0{\mu }_r\vec{H}\\ & =\mu \vec{H}\end{array}$$

磁介质中恒定磁场的基本方程

$$\{\begin{array}{l}\nabla \cdot \vec{B}=0\\ {\oint }_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}\nabla \times \vec{H}=\vec{J}\\ {\oint }_C\vec{H}\cdot d\vec{l}={\int }_S\vec{J}\cdot d\vec{S}\end{array}$$

恒定磁场的边界条件

• 分界面两侧的磁导率分别为 ${\mu }_1$ 和 ${\mu }_2$，分界面的法向量为 $\vec{n}$，分界面上的电流密度为 ${\vec{J}}_S$，则边界条件为

$$\begin{array}{rl}\vec{n}\cdot ({\vec{B}}_2-{\vec{B}}_1)=0& or{B}_{2n}=B_{1n}\\ \vec{n}\times ({\vec{H}}_2-{\vec{H}}_1)={\vec{J}}_S& or{H}_{2t}-H_{1t}=J_S\end{array}$$

• 介质 ${\mu }_1$ 和介质 ${\mu }_2$ 中磁力线与法线的夹角分别为 ${\theta }_1$ 和 ${\theta }_2$，关系为

$$\frac{\tan {\theta }_1}{\tan {\theta }_2}=\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}$$

磁场能量密度和磁场能量

• 磁场能量密度

$${\omega }_m=\frac{1}{2}\vec{B}\cdot \vec{H}$$

• 磁场能量

$$W_m=\frac{1}{2}{\int }_V\vec{B}\cdot \vec{H}dV$$

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时变电磁场

麦克斯韦方程组

• 全电流定律

$$\nabla \times \vec{H}=\vec{J}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$$

• 法拉第电磁感应定律

$$\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$

• 磁通连续性原理

$$\nabla \cdot \vec{B}=0$$

• 高斯定理

$$\nabla \cdot \vec{D}=\rho$$

• 电流连续性方程

$$\nabla \cdot \vec{J}=-\frac{\partial \rho }{\partial t}$$

时变电磁场的边界条件

一般情况，

• 电位移矢量

$$\vec{n}\cdot ({\vec{D}}_2-{\vec{D}}_1)={\rho }_{S}or{D}_{2n}-D_{1n}={\rho }_S$$

若分界面没有自由面电荷，则分界面两侧的电位移矢量的法向分量连续，电场强度的法向分量不连续。

$$\begin{array}{rl}{D}_{1n}& =D_{2n}\\ {\epsilon }_1{E}_{1n}& ={\epsilon }_2{E}_{2n}\end{array}$$

• 磁感应强度

$$\vec{n}\cdot ({\vec{B}}_2-{\vec{B}}_1)=0or{B}_{1n}=B_{2n}$$

分界面两侧的磁感应强度的法向分量连续，磁场强度的法向分量不连续。

$${\mu }_1{H}_{1n}={\mu }_2{H}_{2n}$$

• 磁场强度

$$\vec{n}\times ({\vec{H}}_2-{\vec{H}}_1)=\overrightarrow{J_S}or{H}_{2t}-H_{1t}=J_S$$

若分界面没有自由面电流，则分界面两侧的磁场强度的切向分量连续，磁感应强度的切向分量不连续。

$$\begin{array}{rl}{H}_{1t}& =H_{2t}\\ \frac{B_{1t}}{{\mu }_1}& =\frac{B_{2t}}{{\mu }_2}\end{array}$$

• 电场强度

$$\vec{n}\times ({\vec{E}}_2-{\vec{E}}_1)=\vec{0}or{E}_{1t}=E_{2t}$$

分界面两侧的电场强度的切向分量连续，电位移矢量的切向分量不连续。

$$\frac{D_{1t}}{{\epsilon }_1}=\frac{D_{2t}}{{\epsilon }_2}$$

• 自由面电流密度和自由面电荷密度：

$${\nabla }_t\cdot {\vec{J}}_S+(J_{1n}-J_{2n})=-\frac{\partial {\rho }_S}{\partial t}$$

${\nabla }_t$ 表示对与分界面平行的坐标量求微分（存疑）

理想介质（$\sigma =0$）
在两种理想介质的分界面上，没有自由面电流和自由面电荷，即 $\vec{J}=\vec{0}$，${\rho }_S=0$。边界条件为：

$$\begin{array}{rl}\vec{n}\times ({\vec{H}}_2-{\vec{H}}_1)& =\vec{0}\\ \vec{n}\times ({\vec{E}}_2-{\vec{E}}_1)& =\vec{0}\\ \vec{n}\cdot ({\vec{B}}_2-{\vec{B}}_1)& =0\\ \vec{n}\cdot ({\vec{D}}_2-{\vec{D}}_1)& =0\end{array}$$

理想导体（$\sigma =\infty$）
理想导体内部不存在电场和磁场。电力线垂直于理想导体表面，磁力线平行于理想导体表面。边界条件为：

$$\begin{array}{rl}\vec{n}\times \vec{H}& ={\vec{J}}_S\\ \vec{n}\times \vec{E}& =\vec{0}\\ \vec{n}\cdot \vec{B}& =0\\ \vec{n}\cdot \vec{D}& ={\rho }_S\end{array}$$

坡印廷定理

• 坡印廷矢量

$$\vec{S}=\vec{E}\times \vec{H}$$

• 坡印廷定理

$$-{\oint }_S\vec{S}\cdot d\vec{S}=\frac{\partial }{\partial t}{\int }_V({\omega }_e+{\omega }_m)dV+{\int }_V\vec{J}\cdot \vec{E}dV$$

右式第一项表示体积 $V$ 中电磁能量随时间的增加率，第二项表示体积 $V$ 中热损耗功率。

正弦电磁场

• 复振幅（仅是空间坐标的函数，与时间无关）

$${\dot{E}}_{xm}=E_{xm}{e}^{j{\varphi }_x}$$

• 复振幅矢量（仅是空间坐标的函数，与时间无关）

$$\vec{\dot{E}}={\vec{e}}_x{\dot{E}}_{xm}+{\vec{e}}_y{\dot{E}}_{ym}+{\vec{e}}_z{\dot{E}}_{zm}$$

• $\leftrightarrow$： 瞬时值与复振幅矢量的对应关系。复振幅矢量乘以 $e^{j\omega t}$，并取实部，得到瞬时值。

$$\begin{array}{rl}{E}_x(x,y,z,t)& \leftrightarrow {\dot{E}}_{xm}(x,y,z)\\ \frac{\partial E_x(x,y,z,t)}{\partial t}& \leftrightarrow j\omega {\dot{E}}_{xm}(x,y,z)\\ \vec{E}(x,y,z,t)\leftrightarrow \vec{\dot{E}}(x,y,z)& ={\vec{e}}_x{\dot{E}}_{xm}+{\vec{e}}_y{\dot{E}}_{ym}+{\vec{e}}_z{\dot{E}}_{zm}\end{array}$$

麦克斯韦方程组的复数形式

• 全电流定律

$$\nabla \times \vec{\dot{H}}=\vec{\dot{J}}+j\omega \vec{\dot{D}}$$

• 法拉第电磁感应定律

$$\nabla \times \vec{\dot{E}}=-j\omega \vec{\dot{B}}$$

• 磁通连续性原理

$$\nabla \cdot \vec{\dot{B}}=0$$

• 高斯定理

$$\nabla \cdot \vec{\dot{D}}=\dot{\rho }$$

• 电流连续性方程

$$\nabla \cdot \vec{\dot{J}}=-j\omega \dot{\rho }$$

约定：剩余表示复量的 $\cdot$

复坡印廷矢量

复坡印廷矢量与时间无关，所以取实部不需要乘 $e^{j\omega t}$。

• 瞬时值

$$\vec{S}=\vec{E}\times \vec{H}$$

• 平均值

$${\vec{S}}_{av}=\text{Re}[\frac{1}{2}\vec{E}\times {\vec{H}}^{\ast }]$$

注：电场能量密度、磁场能量密度和导电损耗功率。

复介电常数和复磁导率

$${\epsilon }_c={\epsilon }^{\prime }(\omega )-j{\epsilon }^{\prime \prime }(\omega ){\mu }_c={\mu }^{\prime }(\omega )-j{\mu }^{\prime \prime }(\omega )$$

• 损耗角正切

$$\tan {\delta }_{\epsilon }=\frac{{\epsilon }^{\prime \prime }}{{\epsilon }^{\prime }}\tan {\delta }_{\mu }=\frac{{\mu }^{\prime \prime }}{{\mu }^{\prime }}$$