240. 搜索二维矩阵 II

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分治

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本文探讨了在二维矩阵中高效搜索目标值的三种算法：暴力搜索、二分查找和分治法。其中，分治法利用矩阵的特性，从左下角开始，通过比较逐次缩小搜索范围，实现O(m+n)的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

编写一个高效的算法来搜索 m x n 矩阵 matrix 中的一个目标值 target。该矩阵具有以下特性：

每行的元素从左到右升序排列。
每列的元素从上到下升序排列。
示例:

现有矩阵 matrix 如下：

[
  [1,   4,  7, 11, 15],
  [2,   5,  8, 12, 19],
  [3,   6,  9, 16, 22],
  [10, 13, 14, 17, 24],
  [18, 21, 23, 26, 30]
]

给定 target = 5，返回 true。

给定 target = 20，返回 false。

分析：二维矩阵里的搜索，我主要考虑了三种做法。

方法一：直接暴力搜索，两重循环，时间复杂度为O(m * n)

class Solution {
public:
    bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
        int n = matrix.size();
        if(n == 0) {
            return false;
        }
        int m = matrix[0].size();
        
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            for(int j = 0; j < m; j++) {
                if(matrix[i][j] == target) {
                    return true;
                }
            }
        }
        return false;
    }
};

方法二：二分查找
考虑到每一行都是有序的，那么自然可以对每一行都进行二分查找，时间复杂度为O(mlogn)

方法三：分治
考虑到每一行，每一列都是有序的，那么我们发现左下角的元素是所在列最大，所在行最小的，右上角元素是所在行最大，所在列最小的。
假设我们先选定左下角元素进行比较，如果比目标值小，则列标++，如果比目标值大，则行标–，如果相等，则返回true。

class Solution {
public:
    bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
        int n = matrix.size();
        if(n == 0) {
            return false;
        }
        int m = matrix[0].size();
        
        int i = n - 1, j = 0;
        while(i >= 0 && j < m) {
            if(matrix[i][j] == target) {
                return true;
            } else if(matrix[i][j] < target) {
                j++;
            } else {
                i--;
            }
        }
        return false;
    }
};