ACM 2017 乌鲁木齐区域赛 D. Fence Building (规律/公式/取模/快速幂)-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/hxxjxw/article/details/83245976

题目链接：https://nanti.jisuanke.com/t/28963

题目大意：

在一个圆周上有n个点，在这些点之间连线，问你这些连线将最多圆分成几部分。

题解：

很明显是个找规律题，最开始试了一发 $2^{n-1}$ ,WA了......

后来我们就各种想，也没想出来，后来就在有气无力地翻着蓝书紫书，突然神奇地发现，这个结论在蓝书中有！

就是 $\frac{n^{4}-6n^{3}+23n^{2}-18n+24}{24}$

所以我们就开始很开心地写快速幂和逆元(其实也可以不用快速幂)

但是写完之后莫名其妙地一直在WAWAWAWAWA——真的是要哭了QAQ

之后才发现原因

①快速幂时要先对a取模，因为本题a的范围是1e18，如果不先取模，之后稍微乘以个数就有可能爆long long

②还是因为n是1e18，所以在算18*n那一项的时候，n要先取模，即 x4=(18ll*(n%mod))%mod

③最后不能直接ans=x1-x2+x3-x4+24ll;

在算的过程中就可能会爆long long，应该x1-x2取模，+x3再取模，-x4再取模

(但是本题可能数据弱一点，直接写x1-x2+x3-x4+24ll也是可以过的)

p.s.

赛后看到别人的题解，用的是这个公式

$\frac{n*(n-1)*(n-2)*(n-3)+(n-1)*(n-2)*12+24*n}{24}$

所以就自己又写了一发，又是WAWAWAWAWA......

后来恍然大悟，自己是括号加的少了

n%mod*(n-1)%mod

和 (n%mod)*((n-1)%mod)不一样

乘法运算的优先级高于取模，所以就导致了悲剧

这道题还是学到挺多的，very vegetable.......

#include <bits/stdc++.h>
#include<cstring>
using namespace std;
#define ll long long
#define mod 1000000007
long long pow_mod(long long a,long long n,long long m)//a^n mod m
{
    a%=mod;
    long long res=1ll;
    while(n>0)
    {
        if(n&1==1)
            res=res*a%m;
        a=a*a%m;
        n>>=1;
    }
    return res;
}
//记得在最后输出结果的时候再模m一次

ll quick_inverse(ll n, ll p) //传入a和mod-2,即quick_inverse(a,mod-2)
//返回a关于mod的逆元
{
    ll ret = 1,exponent = p;
    for (ll i = exponent; i; i >>= 1, n = n * n % mod)
        if (i & 1)
            ret = ret * n % mod;
    return ret;
}
int main()
{
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    for(int cas=1;cas<=T;cas++)
    {
        ll n;
        scanf("%lld",&n);
        ll x1=pow_mod(n,4ll,mod)%mod;
        ll x2=6ll*pow_mod(n,3ll,mod)%mod;
        ll x3=23ll*pow_mod(n,2ll,mod)%mod;
        ll x4=(18ll*(n%mod))%mod;
        ll ans;
        ans=x1;
        ans-=x2;
        if(ans<0)ans+=mod;
        ans%=mod;
        ans=(ans+x3)%mod;
        ans-=x4;
        if(ans<0)ans+=mod;
        ans%=mod;
        ans+=24ll;
        ans%=mod;
        ans*=(quick_inverse(24ll,mod-2)%mod);
        ans%=mod;
        printf("Case #%d: %lld\n",cas,ans);
    }

    return 0;
}

第2种写法

#include <bits/stdc++.h>
#include<cstring>
using namespace std;
#define ll long long
#define mod 1000000007
long long pow_mod(long long a,long long n,long long m)//a^n mod m
{
    a%=mod;
    long long res=1ll;
    while(n>0)
    {
        if(n&1==1)
            res=res*a%m;
        a=a*a%m;
        n>>=1;
    }
    return res;
}
//记得在最后输出结果的时候再模m一次

ll quick_inverse(ll n, ll p) //传入a和mod-2,即quick_inverse(a,mod-2)
//返回a关于mod的逆元
{
    ll ret = 1,exponent = p;
    for (ll i = exponent; i; i >>= 1, n = n * n % mod)
        if (i & 1)
            ret = ret * n % mod;
    return ret;
}
int main()
{
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    for(int cas=1;cas<=T;cas++)
    {
        ll n;
        scanf("%lld",&n);
        ll ans=((((((n%mod)*((n-1)%mod))%mod*((n-2)%mod))%mod*((n-3)%mod))%mod  +  (((((n-1)%mod)*((n-2)%mod))%mod)*12)%mod)%mod  +(24*(n%mod))%mod)%mod;
        while(ans<0)ans+=mod;
        ans%=mod;
        ans*=quick_inverse(24ll,mod-2)%mod;
        ans%=mod;
        printf("Case #%d: %lld\n",cas,ans);
    }

    return 0;
}

今天在我们WA到哭的过程中也进行过Java的尝试，但是吃惊的T了，赛后才知道是因为用了pow函数的缘故，将比赛时交的代码的pow全部展开写成n连乘的形式就过了

这是队友写的代码

import java.lang.*;
import java.math.BigInteger;
import java.util.*;
public class Main {

	static Scanner sc ;
	static public class solver
	{
		int ca,cat = 1;
		BigInteger n,ans;
		solver()
		{
			sc = new Scanner(System.in);
		}
		BigInteger func(BigInteger n)
		{
			//BigInteger res = n.pow(4);
			BigInteger res = n.multiply(n).multiply(n).multiply(n);
			
			res = res.subtract(n.multiply(n).multiply(n).multiply(BigInteger.valueOf((long)(6))));
			res = res.add(BigInteger.valueOf((long)(23)).multiply(n.multiply(n)));
			res = res.subtract(n.multiply(BigInteger.valueOf((long)(18))));
			res = res.add(BigInteger.valueOf((long)(24)));
			res = res.divide(BigInteger.valueOf(24));
			res =res.mod(BigInteger.valueOf(1000000007));
			return res;
		}
		void solve()
		{
			ca = sc.nextInt();
			while(ca-- != 0)
			{
				n = sc.nextBigInteger();
				System.out.println("Case #"+cat+": "+func(n));
				cat++;
			}
			ans = BigInteger.ZERO;
			
		}
	}
	public static void main(String[] args) {
		solver sol =new solver();
		sol.solve();

	}

}