Mondriaan s Dream POJ2411图文详解(状态压缩DP)

本文深入解析状态压缩的动态规划算法,通过实例展示如何将集合转化为整数,简化DP状态表示,解决棋盘填充问题。文章介绍了算法核心思想,预处理技巧及完整代码实现。

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在以前我们学习的“线性DP”中,我们提到,动态规划的过程是随着“阶段”的增长,在每个状态维度上不断扩展的。在任意时刻,已经求出最优解的状态与尚未求出最优解的状态在各维度上的分界点组成了DP扩展的“轮廓”。对于某些问题,我们需要在动态规划的“状态”中记录一个集合,保存这个“轮廓”的详细信息,以便进行状态转移。若集合大小不超过N,集合中每个元素都是小于K的自然数,则我们可以把这个集合看作一个N位K进制数,以一个[0,KN-1]之间的的十进制整数的形式作为DP状态的一维。这种把集合转化为整数记录在DP状态中的一类算法,就被称为状态压缩的动态规划算法。

题目大意:给定一个 NM 的棋盘,用 12 的木条填满有多少种不同的方式。
例如当N=2,M=4时,共有5中方案。当N=2,M=3时,有3中方案。如下图所示:
在这里插入图片描述
Sample Input
1 2
1 3
1 4
2 2
2 3
2 4
2 11
4 11
0 0

Sample Output
1
0
1
2
3
5
144
51205
在这里插入图片描述
对于任意一种方案,考虑以某一行为界,把整个棋盘横着分成两半,如上图所示。在上半部分最后一行中:
1.每个灰色背景的部分都是一个竖着的12长方形的一半,决定了下一行必须继续补全该长方形。
2.其余部分对下半部分的分割方法没有影响。下一行既可以在连续两个位置安排一个横着的1
2长方形,也可以让某个位置作为一个竖着的1*2长方形的一半。

综上所述,我们可以把“行号”作为DP的“阶段”,把“上半部分”不断向下扩展,直至确定整个棋盘的分割方法。为了描述上半部分最后一行的详细形态,我们可以使用一个M位二进制数,其中第k(0≤k<M)位为1表示第k列是一个竖着的1*2长方形的上面一半,第k位为0表示其他情况。

设F[i,j]表示第i行的形态为j时,前i行分割方案的总数。j是用十进制整数记录的M位二进制数。
第i-1行的形态k能转移到第i行的形态j,当且仅当:

  1. j和k执行按位与运算的结果是0。
    这保证了每个数字1的下方必须是数字0,代表继续补全竖着的1*2长方形。
  2. j和k执行按位或运算的结果的二进制表示中,每一段连续的0都必须有偶数个。
    这些0代表若干个横着的1*2长方形,奇数个0无法分割成这种形态。

我们可以在DP前预处理出[0,2M-1]内所有满足“二进制表示下每一段连续的0都有偶数个”的整数,记录在集合S中。

在这里插入图片描述
完整代码:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
int n, m;
long long f[12][1 << 11];
bool in_s[1 << 11];

int main()  {
 while (cin >> n >> m && n) {
  for (int i = 0; i < 1 << m; i++) {
   bool cnt = 0, has_odd = 0;
   for (int j = 0; j < m; j++)
    if (i >> j & 1) has_odd |= cnt, cnt = 0;
    else cnt ^= 1;
   in_s[i] = has_odd | cnt ? 0 : 1;
   /*
   1、每次右移,用1和最后一位按位与判断是1还是0,对于连续个0,cnt的值1和0交替变化,奇数个0,cnt的值是1,偶数个0,cnt的值是0。
   2、只要来个1,执行has_odd|=cnt,就把上次连续个0的结果保留到has_odd中,只要has_odd=1就不会再改变了(因为has_odd和cnt执行的按位或操作),说明曾经出现过连续奇数个0。同时把cnt复位为0,重新计算下一组连续个0的情况。
   */
  }
  f[0][0] = 1;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
   for (int j = 0; j < 1 << m; j++) {
    f[i][j] = 0;
    for (int k = 0; k < 1 << m; k++)
     if ((j&k) == 0 && in_s[j | k])
      f[i][j] += f[i - 1][k];
   }
  cout << f[n][0] << endl;
 }
}
<think>好的,我现在要解决用户的问题,他想找洛谷平台上关于C语言瓷砖铺设问题的代码解答。首先,我需要明确用户的具体需求。他提到了“洛谷 C语言 瓷砖铺设 题目 解法 代码”,所以需要找到洛谷上的对应题目,并提供C语言的解法。 首先,我应该回忆或者查找洛谷上的相关题目。洛谷是一个知名的编程题库平台,题目通常有编号或者具体名称。用户提到的“瓷砖铺设”可能对应多个题目,比如铺瓷砖问题,可能涉及动态规划或者递推方法。比如,用户提供的参考引用中提到递推思想,类似数字三角形的问题,可能题目是要求用某种方式铺瓷砖,计算最大价值或方案数。 接下来,我需要确定题目的具体编号或完整名称。比如,常见的铺瓷砖问题有P1220 关路灯,但可能不是。另一个可能是P1002 过河卒,但也不太对。或者可能是更基础的题目,如铺瓷砖问题的变种,比如用1×2的瓷砖铺满2×n的区域,这类问题通常用斐波那契数列递推解决。或者可能是类似于动态规划中的铺砖问题,比如在一个有障碍的网格中用瓷砖覆盖,求方案数。 用户提供的参考内容中提到了递推思想,解法类似于数字三角形,从底层倒推最大值。这可能对应一个类似数字三角形的题目,但结合了瓷砖铺设的情境。例如,每个位置有瓷砖,选择路径使得总和最大,这可能类似于数字三角形问题,但用户需要的是瓷砖铺设的具体问题,可能需要不同的解法。 不过,用户提到参考中的例1是铺瓷砖,而引用中的内容是关于递推的算法分析,可能用户需要的是类似数字三角形问题的瓷砖铺设版本。比如,题目可能是在一个二维网格中铺瓷砖,每个瓷砖有一定的价值,求最大总和。或者题目可能是在给定条件下铺瓷砖,计算方案数。 由于用户明确提到洛谷平台,我需要查找洛谷是否有相关题目。比如,洛谷题目编号可能为P1008或类似的。或者搜索洛谷题单中的铺瓷砖问题。例如,搜索“洛谷 铺瓷砖 C语言”,可能会找到对应的题目。 假设题目是类似于用1×2的瓷砖铺满2×n的地板,求方案数,这是一个经典的递推问题,递推式为斐波那契数列。比如,当n=1时,1种;n=2时,2种;n=3时,3种,以此类推。这种情况下,C语言的解法可以用递推或递归,但递归效率低,所以通常用递推。 如果题目是这种情况,那么代码的大致思路是初始化一个数组,dp[0]=1,dp[1]=1,然后从2到n,dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]。但需要确认题目具体要求。 但用户提供的参考内容中的算法分析提到从顶层到底层选择路径,这与数字三角形问题类似,可能题目是类似这样的结构,但涉及瓷砖铺设。例如,每个位置有一个瓷砖,可以向左或向右铺,求最大总和。这种情况下,可能需要动态规划解法,从下往上递推。 例如,题目可能类似于:有一个由瓷砖组成的三角形,每块瓷砖有一个数值,从顶部出发,每次只能向下或向右下移动,求到底层的最大路径和。这种情况下,递推公式为a[i][j] += max(a[i+1][j], a[i+1][j+1]),然后a[1][1]就是答案。 但用户的问题是关于瓷砖铺设的,可能题目是在某个网格中用特定瓷砖铺,求某种条件下的最大值或方案数。需要更具体的信息,但用户可能无法提供更多细节,所以可能需要根据常见问题推断。 假设题目是求用1×2瓷砖铺满2×n区域的方案数,那么C语言代码可以如下: #include <stdio.h> int main() { int n, i; scanf("%d", &n); int dp[n+1]; dp[0] = 1; dp[1] = 1; for (i = 2; i <= n; i++) { dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]; } printf("%d", dp[n]); return 0; } 但需要确认题目是否为此题。如果题目是其他类型,比如铺m×n的区域,可能需要状态压缩动态规划,但C语言实现可能较复杂。 另外,用户提供的参考中提到递推思想,可能题目与路径选择有关,类似数字三角形,但瓷砖可能代表不同的路径价值,需要选择路径使得总和最大。例如,每个瓷砖位置有一个数值,只能向下或向右下走,求最大总和。 这种情况下,代码可能需要读取二维数组,从下往上计算每个位置的最大值。例如: #include <stdio.h> #define MAX 100 int main() { int n, i, j; int a[MAX][MAX]; scanf("%d", &n); for (i = 0; i < n; i++) { for (j = 0; j <= i; j++) { scanf("%d", &a[i][j]); } } for (i = n-2; i >= 0; i--) { for (j = 0; j <= i; j++) { a[i][j] += (a[i+1][j] > a[i+1][j+1]) ? a[i+1][j] : a[i+1][j+1]; } } printf("%d", a[0][0]); return 0; } 但这是数字三角形的解法,可能用户的问题类似,但应用场景是瓷砖铺设。因此,需要明确题目描述。 由于用户提供的参考中的例1是铺瓷砖,而引用中的算法分析是关于递推的,可能用户的问题确实是类似数字三角形但以瓷砖铺设的情境呈现。因此,可能正确的解法是上述动态规划方法,但需要根据题目调整变量名或处理方式。 但用户需要的是洛谷上的具体题目解答,所以可能我需要提供该题的正确题号和对应C语言代码。由于我无法直接访问网络,我需要依靠记忆或已知信息。例如,洛谷的P1002过河卒,但那是不同的题目。或者P1057 传球游戏,可能也不是。 或者,可能题目是P1216 [USACO1.5]数字三角形 Number Triangles,这确实使用上述动态规划方法,但题目名称不涉及瓷砖。如果用户混淆了题目名称,可能实际是数字三角形问题,但用户误称为瓷砖铺设。或者存在其他题目。 如果用户的问题确实是铺瓷砖,例如在一个矩形区域中铺瓷砖,求方案数,那么可能需要不同的方法。例如,用状态压缩DP处理铺砖问题,其中每行的状态用二进制表示,然后递推。 例如,POJ 2411 Mondriaan's Dream 是一个经典铺砖问题,求用1×2的砖铺满m×n的矩形的方案数。洛谷可能有类似的题目,比如P2285。 对于这种问题,C语言的代码可能较为复杂,使用状态压缩DP。例如: #include <stdio.h> #include <string.h> long long dp[12][1<<11]; int n, m; void dfs(int i, int j, int state, int next) { if (j == n) { dp[i+1][next] += dp[i][state]; return; } if ((state & (1<<j)) == 0) { dfs(i, j+1, state, next | (1<<j)); // 竖放 if (j < n-1 && (state & (1<<(j+1))) == 0) { dfs(i, j+2, state, next); // 横放 } } else { dfs(i, j+1, state, next); } } int main() { scanf("%d%d", &m, &n); memset(dp, 0, sizeof(dp)); dp[0][0] = 1; for (int i = 0; i < m; i++) { for (int state = 0; state < (1<<n); state++) { if (dp[i][state]) { dfs(i, 0, state, 0); } } } printf("%lld\n", dp[m][0]); return 0; } 但这类问题对于C语言来说可能需要处理位运算和递归,复杂度较高。用户可能需要的是这种类型的代码,但需要确认题目具体要求。 由于用户的问题中提到“瓷砖铺设”,而引用中的例子是递推,可能题目是类似于数字三角形的瓷砖铺设,即每个位置有瓷砖,选择路径使总和最大,那么代码应如数字三角形的解法。或者,用户的问题可能更简单,如铺2×n的瓷砖,用斐波那契递推。 总结来说,用户可能需要两种类型的代码:一种是简单的递推(如斐波那契)解决2×n铺砖,另一种是动态规划解决数字三角形式的瓷砖路径问题。需要进一步分析。 根据用户提供的引用中的算法分析,提到从顶层出发,选择路径的最大值,这与数字三角形问题一致,可能用户的问题实际上是数字三角形问题,但被示例称为铺瓷砖。例如,引用中的例1铺瓷砖可能是一个不同的题目,但用户可能混淆了题目名称。 因此,可能正确的做法是提供数字三角形问题的C语言代码,并解释递推方法。或者,如果确实存在铺瓷砖的类似题目,可能需要调整代码。 但考虑到用户明确要求瓷砖铺设的问题,而洛谷可能有相关题目,我需要假设题目是类似于用递推方法解决瓷砖铺设的最大路径和,类似于数字三角形,但题目描述不同。 因此,最终的代码可能类似于数字三角形的解法,但变量名或问题描述调整为瓷砖铺设。例如,每个瓷砖有一个值,从顶层到底层选择路径,求最大和。 综上,我需要给出对应的C语言代码,使用递推方法,从下往上计算每个位置的最大值,并输出结果。同时,提供问题描述和解法分析,确保用户理解。</think>### 洛谷瓷砖铺设问题解法(C语言) #### 题目分析 假设题目为**数字三角形模型的瓷砖铺设问题**:在由瓷砖组成的三角形阵列中,从顶层出发,每次只能向正下方或右下方移动,求经过瓷砖数值之和的最大值[^1]。 #### 算法思路 采用倒推法动态规划: $$a[i][j] = \text{max}(a[i+1][j], a[i+1][j+1]) + a[i][j]$$ 从倒数第二层开始向上递推,最终顶层数值即为最大路径和。 #### C语言代码实现 ```c #include <stdio.h> #define MAX_N 100 int main() { int n; int a[MAX_N][MAX_N]; // 输入数据 scanf("%d", &n); for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j <= i; j++) { scanf("%d", &a[i][j]); } } // 动态规划递推 for (int i = n-2; i >= 0; i--) { for (int j = 0; j <= i; j++) { a[i][j] += (a[i+1][j] > a[i+1][j+1]) ? a[i+1][j] : a[i+1][j+1]; } } // 输出结果 printf("%d", a[0][0]); return 0; } ``` #### 代码说明 1. **输入处理**:读取层数`n`和每层瓷砖数值 2. **倒序递推**:从倒数第二层开始,每个位置累加下方两条路径的较大值 3. **结果输出**:最终顶层数值即为所求最大值 #### 测试样例 输入: ``` 5 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 ``` 输出: ``` 30 ```
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