treap(tree+heap就是二叉搜索树+堆)

原创已于 2022-07-24 10:52:17 修改 · 709 阅读

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#数据结构

于 2020-02-23 15:18:33 首次发布

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树、二叉树、堆

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Treap是一种结合了二叉搜索树和堆性质的数据结构，通过随机生成的修正值维持树的平衡，提供高效的插入、删除和查找操作。本文深入解析Treap的定义、特点及其在信息学竞赛中的广泛应用。

1、Treap的定义
Treap是一棵二叉搜索树，只是每个节点多了一个优先级fix，对于每个节点，该节点的优先级小于等于其所有孩子的优先级。当然，引入优先级fix的目的就是防止退化成一条链，从而影响查找效率。
所以，这样看来就是：Treap中对于节点的关键字key来说，它是一棵二叉搜索树，而对于fix来说，它是一个最小堆，所以Treap可以看成是Tree+Heap，只是这里的Heap不一定是完全二叉树。
Treap的平均时间复杂度为log(n).
如下图：在这里插入图片描述
修正值是节点在插入到TreapTreap中时随机生成的一个值，它与节点的值无关。下述代码给出了TreapTreap的一般定义。
struct Treap_Node {
Treap_Node *left, *right; //节点的左右子树的指针
int value, fix; //节点的值和修正值
};

基本操作:插入x数、删除x数、查询x数的排名、查询排名为x的数、求x的前驱、求x的后继。
treap同时满足两个性质的方法，首先令其满足二叉排序树性质；通过左旋或者右旋，令其同时满足堆的性质。
左旋操作
在这里插入图片描述
右旋操作

左旋、右旋代码

void Treap_Left_Rotate(Treap_Node *&a) {//左旋 节点指针一定要传递引用
    Treap_Node *b = a->right;
    a->right = b->left;
    b->left = a;
    a = b;
}
void Treap_Right_Rotate(Treap_Node *&a) {//右旋 节点指针一定要传递引用
    Treap_Node *b = a->left;
    a->left = b->right;
    b->right = a;
    a = b;
}

初学者对左旋、右旋总记不住，其实很简单，就以右旋举例，左儿子B转到父A的位置，父A当然就成了B的右子树了，A以前是B的父节点，A比B大，旋转后为了保持BST结构，肯定A是B的右子树了，如果B以前左右子树都有，再加上A成为右子树，这样B就有三个子树了，破坏了BST结构，只能把B的子树给A一个，当然只能给B以前的右子树了。
Treap的插入操作
给节点随机分配一个优先级，先和二叉排序树（又叫二叉搜索树）的插入一样，按key插入到相应地方，然后再按优先级fix维护堆的性质。
插入写成递归形式的话，只需要在递归调用完成后判断是否满足堆性质，如果不满足就旋转，实现相对简单。其插入过程示例图如下：
在已知的Treap插入值为4的元素
找到插入的位置后，随机生成的修正值为15
在这里插入图片描述
新建的节点与他的父节点3不满足堆序3为根的子树左旋，如图9

节点4与其父节点5仍不满足最小堆序，对以节点55为根的子树右旋，如图10

至此，节点4与其父亲2满足堆序，调整结束。

时间复杂度：
由于旋转是O(1)的，最多进行h次(h是树的高度)，插入的复杂度是O(h)的，在期望情况下h=O(log n)，所以它的期望复杂度是O(log n)。

Treap_Node *root;
void Treap_Insert(Treap_Node *&P, int value) {//节点指针一定要传递引用
    if (!P) {//找到位置，建立节点
        P = new Treap_Node;
        P->value = value;
        P->fix=rand();//生成随机的修正值
    }
    else if (value <= P->value) {
        Treap_Insert(P->left, value);
        if (P->left->fix < P->fix)
        Treap_Right_Rotate(P);//左子节点修正值小于当前节点修正值，右旋当前节点
    }
    else {
        Treap_Insert(P->right, value);
        if (P->right->fix < P->fix)
        Treap_Left_Rotate(P);//右子节点修正值小于当前节点修正值，左旋当前节点
    }
}
int main() {
    Treap_Insert(root, 7);//在 Treap 中插入值为 7 的元素
    return 0;
}

Treap的删除操作
与BST一样，在Treap中删除元素要考虑多种情况
我们可以按照在BST中删除元素同样的方法来删除Treap中的元素
即用它的后继（或前驱）节点的值代替它，然后删除它的后继（或前驱）节点。
为了不使Treap向一边偏沉，我们需要随机地选取是用后继还是前驱代替它，并保证两种选择的概率均等。
上述方法期望时间复杂度为O(logN)。
但是上述方法并没有充分利用Treap随机性质，每次删除一个节点，就破坏了fix堆的结构，我们左旋或右旋操作后，就不一定用后继（或前驱）替换删除的节点。

我们给出一种更为通用的删除方法，这种方法是基于旋转调整的
首先要在Treap树中找到待删除节点的位置，然后分情况讨论：
情况一，该节点为叶节点或链节点，则该节点是可以直接删除的节点，若该节点有非空子节点，用非空子节点代替该节点的，否则用空节点代替该节点，然后删除该节点。
情况二，该节点有两个非空子节点
我们的策略是通过旋转，使该节点变为可以直接删除的节点。如果该节点的左子节点的修正值小于右子节点的修正值，右旋该节点，使该节点降为右子树的根节点，然后访问右子树的根节点，继续讨论；反之，左旋该节点，使该节点降为左子树根节点，然后访问左子树的根节点，继续讨论，知道变成可以直接删除的节点。

下面给一个删除例子：在Treap中删除是6的元素
如图11
先在Treap中找到6的位置
在这里插入图片描述
发现节点6有两个子节点，且左子节点的修正值小于右子节点的修正值，需要右旋节点6，如图12。（记住往大的那边转，右给右）

旋转后，节点6仍有两个节点，右子节点修正值较小，于是左旋节点6，如图 13。（往大的那边转）
在这里插入图片描述
此时，节点6只有一个子节点，可以直接删除，用它的左子节点代替它，删除本身，如图14。我们发现这次是用他的前驱代替

我们发现在删除的过程中根本就不需要用到删除节点的父节点，只是删除节点和左右子树打交道，不像BST的删除用到父节点。

删除的复杂度稍高，但是期望时间仍为O(logN)
但是在程序中更容易实现
下述代码给出了后一种(即上述图例中)的删除方法
在给定的Treap中删除值为6的节点。

BST_Node *root;
void Treap_Delete(Treap_Node *&P, int value) {//节点指针要传递引用
    if (value == P->value) {//找到要删除的节点 对其删除
        if (!P->right or !P->left) {//情况一，该节点可以直接被删除
            Treap_Node *t = P;
            if (!P->right) P = P->left; //用左子节点代替它
            else P = P->right; //用右子节点代替它
            delete t; //删除该节点
        }
        else {//情况二
            if (P->left->fix < P->right->fix) {//左子节点修正值较小，右旋
                Treap_Right_Rotate(P);
                Treap_Delete(P->right, value);
            }
            else {//左子节点修正值较小，左旋
                Treap_Left_Rotate(P);
                Treap_Delete(P->left, value);
            }
        }
    }
    else if (value < P->value) Treap_Delete(P->left, value); //在左子树查找要删除的节点
    else Treap_Delete(P->right, value); //在右子树查找要删除的节点
}
int main() {
    Treap_Delete(root, 6);//在Treap中删除值为6的元素
    return 0;
}