LeetCode - 338. Counting Bits

LeetCode - 338. Counting Bits

在 LeetCode 的算法题库中，每一道题目都像是一个等待破解的密码，而第 338 题 “Counting Bits”（计算二进制位中 1 的个数），便是其中颇具趣味性和挑战性的一道。它要求我们在给定非负整数 num 的情况下，计算 0 ≤ i ≤ num 范围内每个数字 i 二进制数中 1 的数目，并将结果以数组形式返回。这道题不仅考验我们对二进制数的理解，还需要通过寻找规律来实现高效的算法，接下来我们就一起探索它的解题奥秘。

1. 问题深度剖析

题目明确指出，输入为一个非负整数 num，输出是一个数组，数组中每个元素对应 0 到 num 中相应数字二进制表示中 1 的个数。例如，当 num = 2 时，0 的二进制是 0，1 的个数为 0；1 的二进制是 1，1 的个数为 1；2 的二进制是 10，1 的个数为 1，所以输出数组为 [0, 1, 1]。

值得注意的是，题目对时间复杂度和空间复杂度都有要求，需达到 O(n) 。这意味着我们不能采用暴力解法（如对每个数字都进行逐位判断 1 的个数），而需要挖掘数字之间的内在规律，找到更优的解决办法。

2. 解题思路探秘

解决这道题的关键在于发现数字二进制表示中 1 的个数之间的规律。通过对一些数字的分析，我们可以得到以下结论：

• f(0)=0，f(1)=1；
• 当 n>0 且 n 为 2 的整数次幂时，f(n)=1，例如 2 的二进制是 10，4 的二进制是 100，它们二进制中 1 的个数都为 1；
• 当 n 大于 2 的整数次幂且 base 等于当前 2 的整数次幂时，f(n)=f(base)+f(n-base) 。比如 5 大于 4（2 的整数次幂），5 = 4 + 1，f(5)=f(4)+f(1)=1 + 1 = 2；6 = 4 + 2，f(6)=f(4)+f(2)=1 + 1 = 2 。

基于这些规律，我们可以通过遍历的方式，依次计算出每个数字二进制位中 1 的个数。

3. 代码实现详解

3.1 JavaScript 实现

/**
 * @param {number} num
 * @return {number[]}
 */
var countBits = function (num) {
    let bits = [];
    if (num === 0) {
        bits = [0];
    } else {
        bits = [0, 1];
    }
    let base = 2;
    for (let i = 2; i <= num; i++) {
        if (i >= base * 2) {
            base = base * 2;
        }
        if (i === base) {
            bits.push(1);
        } else {
            bits.push(bits[i - base] + 1);
        }
    }
    return bits;
};

在这段 JavaScript 代码中：

• 首先，根据 num 的值初始化结果数组 bits ，当 num = 0 时，bits 为 [0]；当 num ≥ 1 时，bits 初始化为 [0, 1] 。
• 然后，定义变量 base 用于记录当前 2 的整数次幂。在循环中，当 i >= base * 2 时，更新 base 为 base * 2 。
• 接着，判断如果 i 等于 base，说明 i 是 2 的整数次幂，直接将 1 推入 bits 数组；否则，根据规律 f(n)=f(base)+f(n-base) ，将 bits[i - base] + 1 推入 bits 数组。
• 最后，返回计算好的 bits 数组。

3.2 Python 实现

class Solution:
    def countBits(self, num: int):
        bits = []
        if num == 0:
            bits = [0]
        else:
            bits = [0, 1]
        
        base = 2
        for i in range(2, num + 1):
            if i >= base * 2:
                base = base * 2
            if i == base:
                bits.append(1)
            else:
                bits.append(bits[i - base] + 1)
        return bits

Python 代码的逻辑与 JavaScript 类似：

• 同样先对 num 进行判断，初始化 bits 数组。
• 利用 for 循环遍历从 2 到 num 的数字，在循环过程中根据数字与 base 的关系，按照规律计算并将结果添加到 bits 数组中。
• 最终返回包含每个数字二进制位中 1 的个数的 bits 数组。

4.总结与拓展

通过对 LeetCode 338 题的分析和解答，我们不仅掌握了如何计算给定范围内数字二进制位中 1 的个数，更重要的是学会了如何从具体例子中发现规律，并将其转化为有效的算法。这种寻找规律的思维方式，在解决许多算法问题时都能发挥重要作用。
同时，我们还可以思考这道题目的拓展应用，比如如果题目要求计算二进制位中 0 的个数，或者在更大的数据范围内求解，又该如何优化算法。不断探索和思考，能够帮助我们在算法学习的道路上走得更远。希望这篇博客能为大家理解和解决这道题目提供帮助，也祝愿各位在 LeetCode 的挑战中不断突破自我！