hdu 2604(矩阵快速幂)

本文介绍了一种通过矩阵快速幂解决特定队列组合问题的方法,该问题要求计算不含特定子序列的男女排列总数。

Queuing

Time Limit: 10000/5000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 4787    Accepted Submission(s): 2121


Problem Description
Queues and Priority Queues are data structures which are known to most computer scientists. The Queue occurs often in our daily life. There are many people lined up at the lunch time.

  Now we define that ‘f’ is short for female and ‘m’ is short for male. If the queue’s length is L, then there are 2L numbers of queues. For example, if L = 2, then they are ff, mm, fm, mf . If there exists a subqueue as fmf or fff, we call it O-queue else it is a E-queue.
Your task is to calculate the number of E-queues mod M with length L by writing a program.
 

Input
Input a length L (0 <= L <= 10 6) and M.
 

Output
Output K mod M(1 <= M <= 30) where K is the number of E-queues with length L.
 

题意:

给一个队列,每位上放一个f或者m,不能出现fff或fmf,求长度位l的队列的总数,对m取模。


思路:

令f(n)为长度位n时的种数,n位为m时都可以,即f(n-1)。当n位为f时,末尾3位有4种情况:fff,fmf,mmf,mff。前两种不符,当后3位为mmf时,后3位没有限制,即f(n-3),当后3位为mff时,fmff不行,因此后四位只能是mmff,即f(n-4)。

由此得到递推公式f(n)=f(n-1)+f(n-3)+f(n-4)

由于l较大,直接递推会超时,因此想到矩阵快速幂。


#include<iostream> 
#include<stdio.h> 
#include<math.h> 
#include<string.h> 
#include<vector> 
#include<queue> 
#include<map> 
#include<stack> 
#include<queue> 
#include<algorithm> 
using namespace std; 
struct mat
{
	int mm[4][4];
};int n,m;
mat muti(mat a,mat b)
{
	mat c;
	memset(c.mm,0,sizeof(c.mm));
	for(int i=0;i<4;i++)//矩阵相乘
		for(int j=0;j<4;j++)
			for(int k=0;k<4;k++)
				c.mm[i][j]=(c.mm[i][j]+a.mm[i][k]*b.mm[k][j])%m;
	return c;
}
int fun(int x)
{
	mat ans,a;
	memset(a.mm,0,sizeof(a.mm));
	memset(ans.mm,0,sizeof(ans.mm));
	for(int i=0;i<4;i++)
		for(int j=0;j<4;j++)
			if(i==j)
				ans.mm[i][j]=1;
	a.mm[0][0]=a.mm[0][2]=a.mm[0][3]=a.mm[1][0]=a.mm[2][1]=a.mm[3][2]=1;//初始化
	while(x>0)//快速幂
	{
		if(x&1)
			ans=muti(ans,a);
		a=muti(a,a);
		x>>=1;
	}
	return (ans.mm[0][0]*9+ans.mm[0][1]*6+ans.mm[0][2]*4+ans.mm[0][3]*2)%m;
}
int main()
{
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
	
	while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
	{
		if(n==0)printf("0\n");
		if(n==1)printf("%d\n",2%m);
		if(n==2)printf("%d\n",4%m);
		if(n==3)printf("%d\n",6%m);
		if(n==4)printf("%d\n",9%m);
		if(n>4)
		printf("%d\n",fun(n-4));
	}
    return 0;
}


### HDU 2544 题目分析 HDU 2544 是关于最短路径的经典问题,可以通过多种方法解决,其中包括基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 算法。以下是针对该问题的具体解答。 --- #### 基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 实现 Floyd-Warshall 算法是一种动态规划算法,适用于计算任意两点之间的最短路径。它的时间复杂度为 \( O(V^3) \),其中 \( V \) 表示节点的数量。对于本题中的数据规模 (\( N \leq 100 \)),此算法完全适用。 下面是具体的实现方式: ```cpp #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int INF = 0x3f3f3f3f; int dist[105][105]; int n, m; void floyd() { for (int k = 1; k <= n; ++k) { // 中间节点 for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 起始节点 for (int j = 1; j <= n; ++j) { // 结束节点 if (dist[i][k] != INF && dist[k][j] != INF) { dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]); } } } } } int main() { while (cin >> n >> m && (n || m)) { // 初始化邻接矩阵 for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= n; ++j) { if (i == j) dist[i][j] = 0; else dist[i][j] = INF; } } // 输入边的信息并更新邻接矩阵 for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v, w; cin >> u >> v >> w; dist[u][v] = min(dist[u][v], w); dist[v][u] = min(dist[v][u], w); // 如果是有向图,则去掉这一行 } // 执行 Floyd-Warshall 算法 floyd(); // 输出起点到终点的最短距离 cout << (dist[1][n] >= INF ? -1 : dist[1][n]) << endl; } return 0; } ``` --- #### 关键点解析 1. **邻接矩阵初始化** 使用二维数组 `dist` 存储每一对节点间的最小距离。初始状态下,设所有节点对的距离为无穷大 (`INF`),而同一节点自身的距离为零[^4]。 2. **输入处理** 对于每条边 `(u, v)` 和权重 `w`,将其存储至邻接矩阵中,并取较小值以防止重边的影响[^4]。 3. **核心逻辑** Floyd-Warshall 的核心在于三重循环:依次尝试通过中间节点优化其他两节点间的距离关系。具体而言,若从节点 \( i \) 到 \( j \) 可经由 \( k \) 达成更优解,则更新对应位置的值[^4]。 4. **边界条件** 若最终得到的结果仍为无穷大(即无法连通),则返回 `-1`;否则输出实际距离[^4]。 --- #### 性能评估 由于题目限定 \( N \leq 100 \),因此 \( O(N^3) \) 的时间复杂度完全可以接受。此外,空间需求也较低,适合此类场景下的应用。 ---
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