动态规划

分治法：将问题划分为互不相交的子问题，递归地求解子问题，再将它们的解组合起来

动态规划：子问题重叠；通常用于求解最优化问题

    分治法会做许多重复工作，反复求解公共子问题；而动态规划则对每个子问题只求解一次并保存下来

步骤：

    1） 刻画一个最优解的结构特征

    2） 递归地定义最优解的值

    3） 计算最优解的值，通常采用自底向上的方法

    4） 利用计算出的信息构造一个最优解【如果只是求最优解的值则不需要这一步】

最优子结构性质：问题的最优解由相关子问题的最优解组合而成，且这些子问题能独立求解

钢条切割问题：一根长为n英寸的钢条，其对应长度i有一个售价pi，求如何切割使得售价最高。

    设最佳收益为rn，则

    1. rn = max{pn, r1 + rn-1, r2 + rn-2, ..., rn-1 + r1}

    从而钢条切割问题满足最优子结构性质

    2. 也可以降钢条从左边切割下长度为i的一段，对右边剩下的长度为n-i的一段继续进行切割，对左边的一段则不再进行切割

        rn = max(pi + rn-i)        i = 1, ..., n

        CUT-ROD(p, n)

            if n == 0

                return 0

            q = inf

            for i=1 to n

                q = max(q, p[i] + CUT-ROD(p, n-i))

            return q

        性能差，随着n每次增大1，程序运行时间增长1倍；因为其反复求解重复的子问题

    3. 根据上面的方法，每次将子问题的解保存下来，不必重新计算；典型的空间换时间

        1） 带备忘的自顶向下法，过程保存每个子问题的解，当需要一个子问题的解时，先检查是否已经保存过此解

        2） 自底向上法，需要恰当定义子问题“规模”的概念，使得任何子问题的求解都只依赖于“更小的”子问题的求解

            BOTTOM-UP-CUT-ROD(p, n)

                let r[0..n] be a new array

                r[0] = 0

                for j=1 to n

                    q = inf

                    for i=1 to j

                        q = max(q, p[i] + r[j-i])

                    r[j] = q

                return r[n]

    重构解，上面得到的只是最优解的收益值，而没有得到最优解本身（即切割方案）

    下面的扩展，s保存了解规模为j的子问题时，第一段钢条的最优切割方案s[j]；得到s[j]将其打印出来即可【PP209】

        

            EXTEND-BOTTOM-UP-CUT-ROD(p, n)

                let r[0..n], s[0..n] be a new array

                r[0] = 0

                for j=1 to n

                    q = inf

                    for i=1 to j

                        if q < p[i] + r[j-1]

                            q = p[i] + r[j-i]

                            s[j] = i

                    r[j] = q

                return r and s

            PRINT-CUT-ROD-SOLUTION(p, n)

                (r, s) = EXTEND-BOTTOM-UP-CUT-ROD(p, n)

                while n > 0

                    print s[n]

                    n = n - s[n]