有关计数问题的DP 划分数

最新推荐文章于 2025-05-28 11:55:23 发布

持之以恒_fighting

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分类专栏：动态规划

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本文介绍了一种使用动态规划解决特定划分问题的方法，即如何将n个无区别的物品划分为不超过m组的不同方式数量，并给出了具体的实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

有n个无区别的物品，将它们划分为不超过m组，求出划分方法数模M的余数。

限制条件：

1≤m≤n≤1000

2≤M≤10000

输入

n = 4

m = 3

M = 10000

输出

4 （1+1+2=1+3=2+2=4）

转载讲解的知识点

这样的划分被称作n的m划分，dp数组可以这么定义：

dp[i][j] = j的i划分的总数。

递推关系的难点在于不重复。我们采用一种标准将问题化为子问题，这个标准需要用到一种新的定义。我们定义n的m划分具体为一个集合{a_i}，{a_i}满足∑^m_i=1a_i= n 。可以看出{a_i}里一共有m个数，这m个数不一定大于0。

这个标准是：是否存在某个a_i=0；这样可以将{a_i}分为两种情况：

1、不存在某个a_i=0

此时{a_i}的个数等于{a_i – 1}的个数，即 n – m 的 m 划分。理解起来并不难，集合里每个数都减去1，一共减了m个。

此时dp[i][j] = dp[i][j – i] 。

2、存在某个a_i=0

此时{a_i}的个数等于 n 的 m – 1 划分。可以这样思考，存在a_i=0，说明划分一定不足m组，那么至少可以少分一组同时满足划分数相同。

此时dp[i][j] = dp[i – 1][j] 。

那么{a_i}总的划分数就是这两种情况的综合，dp[i][j] = dp[i][j – i] + dp[i – 1][j]。

#include <stdio.h>
const int MAXN = 1000+10;
int n, m, M;
int dp[MAXN][MAXN];
void solve()
{
	int i,j;
    dp[0][0] = 1;
    for(i = 1; i <= m; i++)
	{
        for (j = 0; j <= n; j++)
		{
            if (j - i >= 0)
			{
                dp[i][j] = (dp[i - 1][j] + dp[i][j - i]) % M;
            }
            else
			{
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
    }
    printf("%d\n", dp[m][n]);
}
int main()
{
    while (scanf("%d%d%d", &m, &n, &M) != EOF)
	{
        solve();
    }
    return 0;
}