考研数二第十四讲牛顿-莱布尼茨公式与用定义法求解定积分

牛顿-莱布尼茨公式连接了微分与积分，是微积分的核心。它表明定积分可以表示为原函数的差。文章介绍了如何通过积分上限函数推导该公式，并展示了使用公式简化求解定积分的过程，强调了公式应用的条件是被积函数在积分区间上连续。此外，文中还提及用定义法求定积分的繁琐步骤，强调了微积分基本公式的重要性。

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牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式在微分与积分以及不定积分与定积分之间架起了一座桥梁，因此，这个公式又被称为微积分基本公式。

微积分基本公式的简单推导

在看微积分基本公式之前，我们先来看一个有点特殊的函数，积分上限函数 $ψ（x）=∫xaf(t)dt\psi （x） =\int_{x}^{a}f(t)dt$
这个函数利用其自变量移动定积分的上限，因此，它的函数值就是函数 f(x)在区间[a,x] 上的定积分。
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最终整理一下，我们可以得到这样一个公式： $∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$
这就是著名的牛顿-莱布尼茨公式，也就是微积分基本公式了。

微积分基本公式的使用

求 $∫01exdx\int_{0}^{1}e^xdx$
解：这道题在上一篇文章“用定义法求不定积分”中就出现了，文章中用定义法求定积分可以说是相当麻烦了。而现在我们有了微积分基本公式，会发现这道题变得非常简单。
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微积分基本公式使用的条件

这一公式使用的条件很简单，只要求被积函数在积分区间上连续。

一旦积分区间不连续，或者是积分限出现了无穷大，那么这个定积分就变成了反常积分，关于反常积分，我也会单独写一篇文章。

用定义法求解定积分

用定义法来求定积分是一件比较麻烦的事，以后我们也不会用定义法求定积分。但是我们可以通过用定义法求定积分来提高我们对微积分的认识。

比如求积分：求 $∫01exdx\int_{0}^{1}e^xdx$
解：这个定积分的含义就是在 [0,1] 这个区间上，曲线 $y=e^x$ 与 x 轴围成的图形的面积。但这个面积并非常见的几何图形，因此我们并不好直接求解。
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注意到，如果我们从积分区间中任取一段区间，这段区间上的函数图像与x轴围成的图像有点像是梯形，如果真的能把它看成梯形的话，那就好办多了。刚好，之前学微分的时候学过，在一个足够小的区间里，可以用一段直线来代替曲线。