考研数二第九讲函数凹凸性证明，求极值以及拐点及渐近线

函数凹凸性与极值判定

原创已于 2023-04-10 13:25:03 修改 · 5.3k 阅读

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鹿少年

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于 2023-03-31 23:11:08 首次发布

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函数的凹凸性描述了函数图像的形状，凹函数的切线在其图像下方，凸函数则反之。一阶可导点是极值的必要条件，二元函数的极值可利用拉格朗日乘数法求解。二阶可导点是判断拐点的重要依据。

什么是函数的凹凸性

函数的凹凸性即对一个在某区间A上连续的函数，它的图像上凸或者上凹，则分别称为凸函数或者凹函数。而对于在某个区间内既有凹图像又有凸图像，则将凹图像所在区间称为函数的凹区间，凸图像所在区间则称为凸区间。
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凹凸性数学定义

中点定义法

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切线定义法

同样是观察凹凸函数的图像，发现凹函数的切线总在函数图像下方，而凸函数则相反。
由此得出凹凸函数的描述性定义：
对于在[a,b]连续的函数，若函数切线全在函数图像下方，则其为凹函数，反之函数切线全在函数图像上方，则为凸函数
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一元函数证明极值

一阶可导点是极值点的必要条件
设 f(x) 在 x=x0 处可导，且在点 x0 处取得极值，则必有 f’(x)=0

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二元函数证明极值

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拉格朗日乘数法及条件极值

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二阶可导点是拐点的必要条件

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判别拐点的第一充分条件

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判别拐点的第二充分条件

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渐近线（函数图像慢慢成为一条直线）

渐近线是用极限思想最简单的运用
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