考研数二第十三讲 从洛必达法则说起—微分中值定理在极限中的简单应用

我们之前介绍极限的文章当中讲过一道例题：

在这题当中，由于x趋向于0的时候，sinx和x都趋向于0，我们要计算0除以0的结果，当时为了解决这个问题，我们用上了夹逼法，对它进行了缩放之后才得到了极限。类似的极限还有很多，本质上来说问题在于当分子和分母都趋向于0时，我们很难计算得到结果。

洛必达

洛必达变形

但是关于洛必达法则使用的限制看起来有些麻烦，其实我们只需要牢记两点即可。第一点是不管x趋向于什么值，只要保证分子分母同时趋向于0或者是无穷，并且导数存在，且分母的导数不为0即可。也就是说如果分子分母的极限不同时为0或者无穷大，则不能使用洛必达法则。这一点一定要牢记，因为在我们多次使用洛必达法则的过程当中，很有可能出现分子分母不在满足这个条件的情况，我们在使用的时候一定要铭记。

微分中值定理在极限中的简单应用

其中一个解法是这样的：

费马引理

费马（Fermat）引理：设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x∈U(x0)，有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(xo))，那么f’(x0)=0。

费马引理就是说明，对于某定义区间内的函数极值点，如果该函数在极值点可导，则函数在该极值点的导数为0。体现在几何上，就是在曲线的最高点或最低点处，其切线平行于x轴。

可以通过计算在极值点的左导数和右导数，并且二者必须相等就可以证明。

通常称导数等于0的点为函数的驻点（或稳定点、临界点）。