JZOJ 3051. 单元格

最新推荐文章于 2019-03-20 21:41:56 发布

Luckfort

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CC 4.0 BY-SA版权

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/huangjingyuan107/article/details/52432054

本文探讨了一个关于在特定条件下计数有效方案数量的问题，并提供了一种高效的算法解决方案。通过将问题转化为寻找矩阵中符合条件的三点排列，文章详细介绍了如何通过数学公式计算不同方案的数量，并给出了解决方案的完整代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Problem

Description

在一个R行C列的表格里，我们要选出3个不同的单元格。但要满足如下的两个条件：
（1）选中的任意两个单元格都不在同一行。
（2）选中的任意两个单元格都不在同一列。
假设我们选中的单元格分别是：A，B，C，那么我们定义这种选择的“费用”= f[A][B] + f[B][C] + f[C][A]。其中f[A][B]是指单元格A到单元格B的距离，即两个单元格所在行编号的差的绝对值 + 两个单元格所在列编号的差的绝对值。例如：单元格A在第3行第2列，单元格B在第5行第1列，那么f[A][B] = |3-5| + |2-1| = 2 + 1 = 3。至于f[B][C], f[C][A]的意义也是同样的道理。现在你的任务是：有多少种不同的选择方案，使得“费用”不小于给定的数minT，而且不大于给定的数maxT，即“费用”在【minT, maxT】范围内有多少种不同的选择方案。答案模1000000007。所谓的两种不同方案是指：只要它们选中的单元格有一个不同，就认为是不同的方案。

Input

一行，4个整数，R、C、minT、maxT。3≤R,C≤4000, 1≤minT≤maxT≤20000。

Output

一个整数，表示不同的选择方案数量模1000000007后的结果。

Sample Input

4000 4000 4000 14000

Sample Output

859690013

Data Constraint

对于30%的数据, 3 ≤ R, C ≤ 70。

Solution

其实问题并不难。
我们将问题转化成：
求一个矩阵，A,B,C三个点至少有2个在这个矩形的边上。
这里写图片描述
（三个红色的圈代表A,B,C三个点）
共有6种可能：
设矩形的长为i，宽为j，那么
此时的费用是这个2(i+j)-4。
在这个R*C的矩阵中，共有(n-i+1)(m-j+1)个矩形，A,B,C三个点有6(i-2)(j-2)种摆法。
所以当费用合法时，答案加上6(i-2)(j-2)(n-i+1)(m-j+1)

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define mo 1000000007
#define LL long long
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
int n,m,a1,a2,i,j;
LL temp,t,ans;
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&a1,&a2);
    fo(i,3,n)
        fo(j,3,m)
        {
            temp=2*(i+j)-4;
            if (temp>=a1 && temp<=a2)
            {
                t=(6*(i-2))%mo; 
                t=(t*(j-2))%mo;
                t=(t*(n-i+1))%mo;
                t=(t*(m-j+1))%mo;
                ans=(ans+t)%mo;
            }
        }
    printf("%lld",ans);
}