JZOJ.1216 数列

Problem

Description

虽然msh长大了，但她还是很喜欢找点游戏自娱自乐。有一天，她在纸上写了一串数字：1,1,2,5,4。接着她擦掉了一个1，结果发现剩下1,2,4都在自己所在的位置上，即1在第1位，2在第2位，4在第4位。她希望擦掉某些数后，剩下的数列中在自己位置上的数尽量多。她发现这个游戏很好玩，于是开始乐此不疲地玩起来……不过她不能确定最多能有多少个数在自己的位置上，所以找到你，请你帮忙计算一下！

Input

第一行为一个数n，表示数列的长度。
接下来一行为n个用空格隔开的正整数，第i行表示数Ai。

Output

一行一个整数，表示擦掉某些数后，最后剩下的数列中最多能有多少个数在自己的位置上，即Ai=i最多能有多少。

Sample Input

5
1 1 2 5 4

Sample Output

3

Hint

【数据规模】
对于20%的数据，n<=20;
对于60%的数据，n<=100;
对于100%的数据，n<=1000.

Solution

DP！
设$F[i][j]$表示在前i个数中删掉了j个的最优值。
我们分类讨论:
①如果$i-j=a[i]$ (j=1~i) 那么表示前i个数删掉j个数后，a[i]恰好落到i-j位这里，因此$f[i][j]=f[i-1][j]+1$.
②否则有两种情况：
如果保留a[i]，则$f[i][j]=f[i-1][j]$
如果删掉a[i]，则$f[i][j]=f[i-1][j-1]$（删掉a[i]，意味着1~i-1中只能删掉j-1个数，第j个被删掉的数是a[i]）
所以在②中，有$f[i][j]=max(f[i][j],max(f[i-1][j],f[i-1][j-1]))$

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#define N 1010
#define fo(i,a,b) for (i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
int a[N],f[N][N],i,j,n,ans;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    fo(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);
    fo(i,1,n)
        fo(j,0,i)
        {
            if (a[i]==i-j) f[i][j]=f[i-1][j]+1;
                      else f[i][j]=max(f[i][j],max(f[i-1][j-1],f[i-1][j]));
        }
    fo(i,1,n) ans=max(ans,f[n][i]);
    printf("%d",ans);
}

——2016.7.11