【题解 && 海亮集训 && 刷题】 阿狸和桃子的游戏

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题目描述：

阿狸和桃子正在玩一个游戏，游戏是在一个带权图 G=(V,E)G=(V,E) 上进行的，设节点权值为 w(v)w(v)，边权为 c(e)c(e)。游戏规则是这样的：

阿狸和桃子轮流将图中的顶点染色，阿狸会将顶点染成红色，桃子会将顶点染成粉色。已经被染过色的点不能再染了，而且每一轮都必须给一个且仅一个顶点染色。

为了保证公平性，节点的个数 NN 为偶数。

经过 N/2N/2 轮游戏之后，两人都得到了一个顶点集合。对于顶点集合 SS，得分计算方式为 ∑v∈Sw(v)+∑e=(u,v)且u,v∈Sc(e)∑v∈Sw(v)+∑e=(u,v)且u,v∈Sc(e)

由于阿狸石头剪子布输给了桃子，所以桃子先染色。两人都想要使自己的分数比对方多，且多得越多越好。如果两人都是采用最优策略的，求最终桃子的分数减去阿狸的分数。

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分析：

说实话这题之所以被评判为$NOI+$难度的题目，是因为它是考思维的。

看到点权和边权，第一眼很容易想到图论
然而并不是

• 我们考虑如何转化：
  对于一条边权，只有选到了边权上的两个点才能得到这条边权，但如果只选一个点，却什么也得不到

对于这个性质，我们很容易 想到将边权平分给两个点。
接下来给出如何证明：

• 对于一条边的两个端点 ，我们把边权的一半赋给它们
• 这样如果两个点都选那么贡献就是 $w(u)+w(v)+c(e(u,v))$
• 如果只选择其中的一个点，贡献就是：
  $[w(u)+\frac{c(e(u,v))}{2}]-[w(v)+\frac{c(e(u,v))}{2}]=w(u)-w(v)$
• 贡献不变
• 证毕

所以很显然可以把边权平均赋给两个点，然后贪心排序即可。

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Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
double a[10101010];

int main(){
	scanf("%d %d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[i]);
    for (int i=1,x,y;i<=m;i++){
	    double z;
	    scanf("%d %d %lf",&x,&y,&z);
	    a[x]+=z/double(2);
	    a[y]+=z/double(2);
	}
	sort(a+1,a+n+1);
	double ans=0;
	for (int i=2;i<=n;i+=2)
	  ans+=a[i]-a[i-1];
	printf("%d",(int)ans);
	return 0;
}