【题解 && dp】 dp例题 4

题目描述:

大神zcc and zyb(my granddaughter)给定⼀棵n个点的边权树，由于他（她）太强了，所以他想考考你。
求每一个以i为根节点的子树中以i为起点的最长链和次长链是多少？
注： 最长链和次长链必须是彼此没有相同边的两条独立的链。

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样例

输入格式
第一行输入一个T($(1<<T)\le 2^{20}$)，表示有T组数据
对于每组数据，输入总共n行 。 第一行有两个整数n和S，分别表示总点数和树根。
第2 ~ n行每行有3个整数x,y,z，表示x到y有一条边，边权为z($0<=z<=10000$)。

输出格式
输出总共$T\ast 2$行
对于每组数据，输出两行
第一行输出n个数，第i个数表示以i号点作为根节点的子树的以i为起点的最长链，数之间用2个空格隔开
第二行输出n个数，第i个数表示以i号点作为根节点的子树的以i为起点的次长链，数之间用2个空格隔开

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数据规模与约定

$\%15n<=10$ (这是用来给你们找错误的 --by 凉心出题人)
$\%25n<=100$
$\%35n<=500$
$\%45n<=1000$
$\%55n<=5000$
$\%65n<=10000$
$\%75n<=50000$
$\%100n<=100000,(1<<T)<=2^{2}0$
注意：对于上述所有输出，行末无空格。
时间限制：1s
空间限制：256MB

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分析:

这是一道树形dp的题。
然后这道题目其实有个歧义：就是最长链和次长链是否可以重边。
在这里是不能重边的。

那么我们设：
$maxx1[i]$表示以i为根的最长链是多少
$maxx2[i]$表示以i为根的次长链是多少

因为树形dp都是从下往下更新的过程，所以对于一个根x，它的最长链也只与它的儿子有关。

很显然，对于一个根x，它的最长链或者次长链只有通过它儿子的最长链才能更新。
并且它儿子的最长链只能更新它的最长链或者次长链（因为不能有重边，显然它的儿子之间不会有重边）。

那么我们可以推得一下公式：
$$y\in son(x)\{\begin{array}{l}maxx2[x]=maxx1[x],maxx1[x]=maxx1[y]+e[i].v\text{ （maxx1<maxx1[y]+e[i].v）}\\ maxx2[x]=maxx1[y]+e[i].v\text{ （maxx2[x]<maxx1[y]+e[i].v）}\end{array}$$

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Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node{
    int y,v,Next;
}e[200010];
int linkk[100010];
int maxx1[100010];
int maxx2[100010]; 
int t;
int n,root;
int len=0;
void insert(int x,int y,int v){
    e[++len].Next=linkk[x];
    linkk[x]=len;
    e[len].y=y;
    e[len].v=v;
}
void dp(int x,int fa){
    for (int i=linkk[x];i;i=e[i].Next){
	    int y=e[i].y;
	    if (y==fa) continue;
	    dp(y,x);
	    if (maxx1[y]+e[i].v>maxx1[x])
	      maxx2[x]=maxx1[x],maxx1[x]=maxx1[y]+e[i].v;
	    else if (maxx1[y]+e[i].v>maxx2[x])
	      maxx2[x]=maxx1[y]+e[i].v;
	}
}
int main(){
    freopen("T4.in","r",stdin);
    freopen("T4.out","w",stdout);
    scanf("%d",&t);
    while (t--){
	    len=0;
	    scanf("%d %d",&n,&root);
	    for (int i=1;i<=n;i++) linkk[i]=0,maxx1[i]=0,maxx2[i]=0;
	    for (int i=1,x,y,z;i<n;i++)
	      scanf("%d %d %d",&x,&y,&z),insert(x,y,z),insert(y,x,z);
	    dp(root,0);
	    printf("%d",maxx1[1]);
	    for (int i=2;i<=n;i++)
	      printf("  %d",maxx1[i]);
	    printf("\n");
	    printf("%d",maxx2[1]);
	    for (int i=2;i<=n;i++)
	      printf("  %d",maxx2[i]);
	    if (t) printf("\n");
	}
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
}