状压DP入门——Bzoj1725 牧场的安排题解

状压DP入门——Bzoj1725 牧场的安排

状压DP是DP中不太好理解的一种算法，其关键点就在于将每个状态转化为二进制再储存为十进制储存（如：True,False,True,False四个状态转为二进制数1010再转为十进制数10储存），其优点是可以在较小的内存占用中表示较多的状态（long long int大约可压缩64种状态），同时运用位运算可以得到数组访问处理所达不到的速度，所以状压DP非常重要。

话不多说，先上例题

【题目描述】
原题来自：USACO 2006 Nov. Gold
Farmer John 新买了一块长方形的牧场，这块牧场被划分成
M 行 N列 (1≤M≤12;1≤N≤12)，每一格都是一块正方形的土地。FJ 打算在牧场上的某几格土地里种上美味的草，供他的奶牛们享用。遗憾的是，有些土地相当的贫瘠，不能用来放牧。并且，奶牛们喜欢独占一块草地，于是 FJ 不会选择两块相邻的土地，即：没有哪两块草地有公共边。当然，FJ 还没有决定在哪些土地上种草。
作为一个好奇的农场主，FJ 想知道，如果不考虑草地的总块数，那么，一共有多少种种植方案可供他选择。当然，把新的牧场荒废，不在任何土地上种草，也算一种方案。请你帮 FJ 算一下这个总方案数。
【输入】
第 1 行：两个正整数M 和 N，用空格隔开；
第 2到 M+1行：每行包含N 个用空格隔开的整数，描述了每块土地的状态。输入的第i+1行描述了第 i行的土地。所有整数均为 0或 1，1表示这块土地足够肥沃，0则表示这块地上不适合种草。
【输出】
第1行：输出一个整数，即牧场分配总方案数除以 10⁸ 的余数。
【输入样例】
2 3
1 1 1
0 1 0
【输出样例】
9

先考虑记录方案方法

对于每块地只有两种情况，放牛和不放牛，所以可以用二进制储存状态进行压缩。
先看个例子：

放牛	不放牛	放牛
不放牛	放牛	不放牛
放牛	不放牛	放牛

将放牛状态记录为1，不放牛记录为0，那么记录下的状态为：

1	0	1
0	1	0
1	0	1

这里不难理解，然后是压缩状态。我们逐行进行压缩，那么第一行包含的状态1，0，1转为十进制数记录，即5；第二行包含的状态0，1，0也转为十进制压缩储存，即2；同理，对第三行包含的状态进行压缩，得到5。再将压缩得到的数据5，2，5汇总为数组，就可以得到数组：

5
2
5

即每一行的一个数包含了该行的三个状态，也就是状态压缩，最后转为大家熟悉的横向的数组，得到：

5	2	5

这样就可以表示放牛的状态了。取用和操作状态时用位运算符直接对他们的二进制进行操作即可。
位运算的定义及运算规则可见下面两个表格：

类 型	运算符	含义	规则
位逻辑运算符	&	按位与	同位同为1该位为1，否则为0
位逻辑运算符	|	按位或	同位中有一个为1该位为1，否则为0
位逻辑运算符	^	按位异或	同位相同为1，否则为0
位逻辑运算符	~	取反	0变1，1变0
移位运算符	<<	左移	整体左移，右边末尾添0，左溢出截断
移位运算符	>>	右移	整体右移，左边末尾添0，右溢出截断

再考虑每行的所有情况（暂不考虑土地的影响及竖向限制）

因为我们是横向压缩状态，所以我们只考虑横向的所有情况。因为每行的列数相同，所以所有可能的情况是相同的！ 我们仅需枚举一次每行中所有不冲突的情况即可套用到所有行。情况的穷举首先会想到dfs，那就先用dfs穷举。
Code:

int list[4099];//用于记录所有已枚举的情况，大小为1<<12
int item = 0;//记录情况总数
int range = 0;//设置枚举情况的长度
void dfs(int deep, int last)
{
	if (deep >= range)//判断枚举位数是否达到长度
	{
		list[item++] = last;//记录当前情况
		return;
	}
	dfs(deep + 1, last << 1);//无条件左移
	if (!(last & 1))//判断最后一位是否为1，因为1的二进制为0001，如果最后一位为1，last&1就为true
	{//如果最后一位为1，左移到第二位后加1（即设置最后一位为1）会出现两个1状态相邻，不符合题意
		dfs(deep + 1, (last << 1) + 1);
	}
	return;
}

调用dfs(0, 0)即可。
同样可以根据取值范围一个一个枚举。枚举n位的二进制数等于（1<<n）-1的二进制数（1<<n的二进制数最高位为1，随后n位为0。而n位的二进制数最大为n个1，加1就等于1加n个0即1<<n。所以范围为0~(1<<n)-1）。那么，我们可以用循环枚举所有情况。
Code:

int list[4099];//用于记录所有已枚举的情况，大小为1<<12
int item = 0;//记录情况总数
void init()
{
	int num = (1 << n);						
	for (int i = 0; i < num; i++)
	{
		if (!(i&(i << 1)))//错一位再按位与，若连续两位为1，错位并按位与后结果不为0
		{
			list[++item] = i;//记录当前情况
		}
	}
}	

这样就可以枚举所有横向的情况。

再考虑竖向冲突情况

竖向冲突只与上下两行的情况有关，那么我们一律让当前行使用的方案row1与上一行使用的方案row2判断是否冲突即可。如果上下两行放牛的位置相错开，那么两行的按位与得0，否则非0。
Code:

bool row(int row1,int row2)
{
	return list[row1] & list[row2];
}

然后考虑土地限制

为了便于数据处理，我们将读入的土地状态一律取反，如：

1	1	1
0	1	0

记录为：

0	0	0
1	0	1

这样，如果情况中与土地冲突，按位与得非0，否则为0。
Code:

bool check(int line, int item)
{
	return !(ary[line] & list[item]);//ary为土地压缩后的状态
}

最后进行状态转移

定义二维数组dp[12][4096],dp[i][j]=k表示第i行第j种情况有k种可行方案。
对于第i行的第j种情况与上一行即i-1行的第k种情况不冲突，则有转移方程：
dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][k])%MOD
第一行枚举每一种情况后判断是否与土地相冲突，冲突dp[1][i]=0,否则dp[1][i]=1。
状态转移从第二行开始转至第m行，最后将第m行的所有值相加取模即可得到答案。

AC代码

#include<iostream>
#include<cstdio>

int ary[13];
int dp[13][4099];
int n, m;
int list[4099];
int item = 0;
int range = 0;
void dfs(int deep, int last)
{
	if (deep >= range)
	{
		list[item++] = last;
		return;
	}
	dfs(deep + 1, last << 1);
	if (!(last & 1))
	{
		dfs(deep + 1, (last << 1) + 1);
	}
	return;
}
bool check(int line, int item)
{
	return !(ary[line] & list[item]);
}
void init()
{
	int num = (1 << n);
	for (int i = 0; i < num; i++)
	{
		if (!(i&(i << 1)))
		{ 
			list[++item] = i;
		}
	}
}						
int main()					
{
	scanf("%d%d", &m, &n);
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int t = 0;
		for (int j = 1; j <= n; j++)
		{
			int x;
			scanf("%d", &x);
			t = (t << 1) + 1 - x;
		}
		ary[i] = t;
	}
	range = n;
	//dfs(0, 0);
	init();
	for (int i = 1; i <= item; i++)
	{
		if (check(1, i))
		{
			dp[1][i] = 1;
		}
	}
	for (int i = 2; i <= m; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= item; j++)
		{
			if (!check(i, j))
			{
				continue;
			}
			for (int k = 1; k <= item; k++)
			{
				if (!check(i - 1, k))
				{
					continue;
				}
				if (row(j, k))
				{
					continue;
				}
				dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][k]) % 100000000;
			}
		}
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= item; i++)
	{
		ans = (ans + dp[m][i]) % 100000000;
	}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}

//我最开始时ary索引起止和list索引起止不统一导致dp转移出错，十个点只过了三个点。希望大家不要犯我这样的错误:-)

这是我的第一篇题解，如有勘误还请大佬指出！