【福州DAY6 && 算法详解】——快速幂

快速幂

   今天是我在福州集训的第六天，在今天，我学习了贪心和分治这两种思想。我当然收货了很多。但最令我受益的吧吧吧——就是快速幂了！要知道快速幂在2017年初赛中也是考到了！！也可见其的重要性！！

 

   在学习快速幂之前，我们要知道一下问题：

       Q：快速幂是什么？

       A：快速幂是一种专门计算a^b%p的一种算法，对于这种操作，快速幂是最好的。当然我们还会在下面具体解释。

       Q：虽然快速幂很好用，但我们也要知道他在什么地方用。如果连什么时候用都不知道~那么就算快速幂再厉害神仙也就不了你了呀~~

      A：对于快速幂，我们一般在a^b%p中当b极大是使用。在b极大的时候普通的数是可以用暴力写的，但是复杂度却为O(b)，当b极大是TLE的可能性还是很大的。如果高精度的话，作取模运算未免又太麻烦了。所以一些伟大的大佬们就创造出了一种神奇的算法——It  means快速幂！他不仅代码实现容易，而且时间复杂度优秀，为log级的，即使很大的数也能用非常快的时间做掉。

 

 

对于快速幂，我们有两种实现的方法，一种是非递归算法，另一种就是递归算法（讲了跟没讲似的。），那么我们接下就会一一介绍。

 

两种方法的例题都是a^b%p，求结果。(我们的约定：b在long long范围内)（看到这数据有没有绝望~~用暴力也会超时吧！但是我们用快速幂就能非常非常轻松的通过。）

一、非递归方法

    我们首先可以将b转化为一个二进制数，记x为当前二进制位下的值（这样讲可能会有点抽象，接下来会具体说），在另记一个数s为当前的值。算法就是当遍历到当前b二进制位为1时，就s=s*x%p（注，mod p千万不能忘，包括之前，为了保险可以再每部都mod 一个p。当然不用模的时候千万不能模，不然答案有可能是错误的。）

每次遍历一次就将x=x*x一次（这里不用判断，而且是不能判断当前位是否为1，因为x的值是跟当前的二进制位是没关系的）

     接下来给一个例子：

            例如：2^8%10

 

           那么我们就按照刚刚的方法来模拟：

               8二进制展开后为1 0 0 0

               x初值为a,即x=2;

               s初值为1，即s=1；

                ①开始时遍历到0，s不变，x=x*x%p=4;

                ②第二次遍历到0，s不变，x=x*x%p=6

                ③第三次遍历到0，s不变，x=x*x%p=6

                ④第四次遍历到1，s=s*x%x=6，x=x*x%p=6；

                遍历完毕，结束。

                因为这里涉及到幼儿园奥数中的同余问题，这里就不详细介绍了。

             那么这时可能会有人怀疑最后的结果到底对不对？？那么我们就用暴力算法对拍一下。

 

  暴力算法为：2*2*2*2*2*2*2*2=256；

             256 mod 10为6.

 诶很惊喜！答案居然对了呢！

 这就说明这方法是可行的。

 

那么接下来就是代码实现：

   long longx=a,s=1;//初值（注意！这里必须要long long 当p巨大时int是会炸的）

   while (b!=0)//b还没遍历完+-86*86-+

   {

      if (b%2==1)//若当前位是1，就进行累乘

        s=s*x%p;  

      x*=x;//自身累乘

      x%=p;//注意模

      b/=2//其实就是模拟二进制算法，除以二，知道为0为止

   }

emmmmmmmmmmm，这代码也太短了吧~~应该是可以理解的！

 

 

二、递归法（二分法）

  对于这种操作，我们就要从二分的角度去想。这使我们想到了幂的一种性质：a^x+y=a^x*a^y;那么我们就很容易想到：我们可以将b拆分成b/2与b/2（对于偶数而言，对于奇数的话就在额外乘一个a）。

如果我们将这个二分函数称为f的话，就有以下公式：

    b为偶数:f(a,b/2,p);

    b为奇数：a*f(a,b/2,p);

 

那么有了公式后，代码实现就很容易了，代码如下：

int f(int a,int b,int p){

    if (b==0)//已经到底

      return 1%p;

    else{

       long long res=f(a,b/2,p);//注意，只能是longlong，具体原因前面已讲

      res*=res;//已经求过一遍，不用求第二遍，平方。

      res%=p;//取模

}

 reurn res;

}

那么这就是快速幂的两种方法，应该是好理解的吧~