人工智能之数学基础：矩阵条件数在线性方程组求解中的应用

本文重点

在线性代数领域，矩阵的条件数（Condition Number）是一个至关重要的概念。矩阵条件数表示了矩阵计算对于误差的敏感性，本文介绍矩阵条件数在线性方程组求解中的应用。

举例

如图所示，现在有两个方程组，方程组仅仅是b不同，但是它们的结果却相差很大，为什么会出现这样的情况呢？我们可以从矩阵条件数的角度来判断这个问题。

矩阵条件数

现在有一个矩阵AX=b,如果矩阵A的条件数过大，那么b的微小改变就能引起解x较大的改变，数值稳定性差。那么如何计算矩阵的条件数呢？

矩阵条件数的计算公式如图所示，它等于矩阵的范数乘以矩阵逆的范数。

在计算矩阵条件数时，可以选择不同的范数来衡量矩阵的大小。以下是一些常见的计算方法：

1-范数条件数：使用矩阵A的1-范数和其逆矩阵A^(-1)的1-范数的乘积来计算。1-范数定义为矩阵列和的最大值。

2-范数条件数：使用矩阵A的2-范数和其逆矩阵A^(-1)的2-范数的乘积来计算。2-范数（谱范数）定义为矩阵最大奇异值。

无穷范数条件数：使用矩阵A的