14、功能线性模型：标量响应与功能响应分析

功能线性模型：标量响应与功能响应分析

1. 标量响应的功能线性模型

1.1 置信区间

完成功能线性回归后，我们需要衡量每个估计的 $\hat{\beta}_j(t)$ 的精度。在通常的独立性假设下，$\varepsilon_i$ 独立地围绕零呈正态分布，方差为 $\sigma_e^2$，其协方差为 $\Sigma = \sigma_e^2 I$。估计参数向量 $\hat{b}$ 的抽样方差为：
[Var[\hat{b}] = (Z’Z + R(\lambda))^{-1} Z’ \Sigma Z (Z’Z + R)^{-1}]

为了获得每个 $\beta_j(t)$ 的置信区间，我们需要估计 $\sigma_e^2$，可以从残差中得到。以下是在 R 中实现的代码：

resid = annualprec - annualprechat
SigmaE. = sum(resid^2)/(35 - fRegressList$df)
SigmaE = SigmaE. * diag(rep(1, 35))
y2cMap = tempSmooth$y2cMap
stderrList = fRegress.stderr(fRegressList, y2cMap, SigmaE)

然后可以绘制系数函数 $\beta(t)$ 及其正负两倍标准误差，以获得近似的置信区间：

betafdPar = betaestlist[[2]]
betafd = betafdPar$fd
betastderrList = s