11、探索函数数据的变异与对齐：方法与应用

探索函数数据的变异与对齐：方法与应用

在函数数据分析中，探索数据的变异以及将曲线特征进行对齐是两个重要的任务。下面将详细介绍相关的分析方法和操作步骤。

1. 探索函数数据的变异

在许多情况下，我们希望研究两组曲线之间的共同变异情况。例如，我们可能想知道35个加拿大气象站的温度和对数降水量之间有多少共同变异。为了解决这个问题，我们可以使用典型相关分析（Canonical Correlation Analysis，CCA）。

1.1 典型相关分析的基本原理

假设我们有两组变量 (x_i) 和 (y_i)（(i = 1, \cdots, N)），为了保持符号的简洁，我们将这两组变量进行中心化处理，即假设 (\bar{x} = \bar{y} = 0)。我们通过一对探测权重函数 (\xi) 和 (\eta) 来定义积分：
(\rho_{\xi i} = \int \xi(t)x_i(t)dt) 和 (\rho_{\eta i} = \int \eta(t)y_i(t)dt)
这 (N) 对探测得分 ((\rho_{\xi i}, \rho_{\eta i})) 如果彼此强烈相关，则代表了共同变异。典型相关准则是平方相关系数：
(R^2(\xi, \eta) = \frac{[\sum_{i} \rho_{\xi i} \rho_{\eta i}]^2}{[\sum_{i} \rho_{\xi i}^2][\sum_{i} \rho_{\eta i}^2]} = \frac{[\sum_{i}(\int \xi(t)x_i(t)dt)(\int \eta(t)y_i(t)dt)]^2}{[\sum_{i}(\int \xi(t)x_i(