9、数据平滑与功能数据分析：从残差评估到功能描述

数据平滑与功能数据分析：从残差评估到功能描述

在数据平滑处理之后，我们需要评估数据的拟合情况，并进一步分析残差，同时了解相关的功能类和函数的使用方法，以及进行一些实践尝试。

评估数据拟合情况

在完成数据平滑后，有许多问题值得探讨，这引导我们对残差 (r_{ij} = y_{ij} - x_i(t_j)) 进行进一步分析。这些分析可以是功能性的，因为有理由认为这些残差在 (t) 上的部分变化是平滑的。

首先，我们要思考是否因过度平滑而遗漏了数据中的重要特征。例如，可能有一两条曲线存在异常情况，但由于广义交叉验证（GCV）准则选择了对所有样本同时最优的平滑水平，导致我们未能发现。那么，分别对每个气象站的对数降水量数据进行平滑处理是否会更好呢？这个问题我们将在后续进一步探讨。

另一个相关问题是，残差的变化是否符合我们所采用的平滑类型的隐含假设。只有当所有时间点的残差都呈正态分布，并且这些残差的方差在不同年份和气象站（曲线）之间保持恒定时，使用无加权最小二乘法准则才是最优的。

接下来，我们回到之前考虑的对数降水量数据，创建一个 365×35 的残差矩阵。然后，我们用这个矩阵创建跨气象站和跨时间的方差向量：

logprecmat = eval.fd(day.5, logprec.fd)
logprecres = logprecav - logprecmat
# 跨气象站
logprecvar1 = apply(logprecres^2, 1, sum)/35
# 跨时间
logprecvar2 = apply(logprecres^2, 2, sum)/(365-12)