5、规划领域的复杂性分析与基准测试套件概述

规划领域的复杂性分析与基准测试套件概述

1. 规划任务的复杂度特性

在规划任务中，存在一些关于复杂度的重要特性。对于特定的规划任务 $T_{\phi}$，它具有以下性质：
- $T_{\phi}$ 的规模是关于 $\phi$ 规模（记为 $n$）的多项式。
- $T_{\phi}$ 总是存在一个测度为 $2n + 1$ 的平凡解。
- 如果 $\phi$ 是可满足的，$T_{\phi}$ 存在一个测度为 $2n$ 的第二个解。

对于这类规划任务，存在平凡的完全多项式时间近似方案，但如果存在多项式时间的最优规划算法，则意味着 $P = NP$。

2. 规划领域的近似复杂度

在近似复杂度谱的另一端，有如下定理：
定理 2.3.9 ：PS 和 exp - APX 的局限性
设 $D$ 是一个具有廉价算子的规划领域，存在一个多项式时间算法，能确定给定任务 $T \in T$ 的 $m^*(T)$ 是否为 0，并在为 0 时计算出测度为 0 的规划。如果 Plan - D $\in$ PS，那么 Plan - D $\in$ poly - APX。

证明 ：设 $D$ 是一个规划领域，使得 Plan - D $\in$ PS。这意味着必须有一个针对 $D$ 的多项式时间规划算法。多项式时间规划算法只能生成多项式规模的规划，而在具有廉价算子的领域中，多项式规模的规划具有多项式测度。因此，该算法能保证对于所有 $m^ (T) \neq 0$ 的输入任务有多项式性能比。此外，$m^ (T) = 0$ 的输入