34、图着色与机器人无深度感知定位研究

图着色与机器人无深度感知定位研究

1. 图着色算法

在图论的研究中，图着色问题是一个经典且重要的问题。这里主要介绍了两种图着色相关的内容，分别是∆ - 列表顶点着色和次立方图的 3 - 列表着色。

1.1 ∆ - 列表顶点着色

对于∆ - 列表顶点着色，存在一个线性时间的算法。以下是该算法的具体实现步骤：

for each color c in Cvi do A[c] ← true;
for each color c in Uvi do A[c] ← false;
c ← first color in Cvi; 
while A[c] = false do 
    c ← next color in Cvi;
assign color c to vi;
for each vertex j on the adjacency list of vi do 
    append color c to Uj 

这个算法的时间复杂度为 $O(m + n)$，可以对 Brooks 图进行∆ - 列表着色。其原理是通过对颜色列表的操作，为每个顶点选择合适的颜色，并更新相邻顶点的可用颜色列表。

1.2 次立方图的 3 - 列表着色

对于次立方图，我们可以采用以下步骤进行 3 - 列表着色：
1. 图的分解 ：次立方图 $G$ 可以在线性时间内分解为边不相交的子图 $C$ 和 $T$，其中 $C$ 是顶点不相交的环的集合，$T$ 是最大度至多为 3 的森林。并且可以选择使得 $