线段树

最新推荐文章于 2022-05-02 22:22:05 发布

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HH神的线段树出神入化，所以跟着HH学习线段树。

风格：

maxn是题目给的最大区间，而节点数要开4倍，确切的说……

lson和rson辨别表示结点的左孩子和右孩子。

PushUp(int rt)是把当前结点的信息更新到父节点

PushDown（int rt)是把当前结点的信息更新给孩子结点。

rt表示当前子树的根（root），也就是当前所在的结点。

思想：

对于每个非叶节点所标示的结点 [a,b]，其做孩子表示的区间是[a,(a+b)/2]，其右孩子表示[(a+b)/2,b].

构造：

离散化和线段树：

题目：x轴上有若干个线段，求线段覆盖的总长度。

普通解法：设置坐标范围[min,max],初始化为0，然后每一段分别染色为1，最后统计1的个数，适用于线段数目少，区间范围小。

离散化的解法：离散化就是一一映射的关系，即将一个大坐标和小坐标进行一一映射，适用于线段数目少，区间范围大。

例如：[10000,22000],[30300,55000],[44000,60000],[55000,60000].

第一步：排序 10000 22000 30300 44000 55000 60000

第二部：编号 1 2 3 4 5 6

第三部：用编号来代替原数，即小数代大数。

[10000,22000]~[1,2]

[30300,55000]~[3,5]

[44000,60000]~[4,6]

[55000,60000]~[5,6]

然后再用小数进行普通解法的步骤，最后代换回去。

线段树的解法：线段树通过建立线段，将原来染色O(n)的复杂度减小到 log（n），适用于线段数目多，区间范围小的情况。

离散化的线段树：适用于线段数目多，区间范围大的情况。

构造：

动态数据结构：

struct node{

node* left;

node* right;

……

}

静态全局数组模拟（完全二叉树）：

struct node{

int left;

int right;

……

}Tree[MAXN]

例如:

线段树与点树：

线段树的每一个结点表示一个点，成为点树，比如说用于求第k小数的线段树。

点树结构体：

struct node{

int l, r;

int c;//用于存放次结点的值，默认为0

}T[3*MAXN];

创建：

创建顺序为先序遍历，即先构造根节点，再构造左孩子，再构造右孩子。

[cpp] view plain copy print ?

void construct(int l, int r, int k){
T[k].l = l;
T[k].r = r;
T[k].c = 0;
if(l == r) return ;
int m = (l + r) >> 1;
construct(l, m, k << 1);
construct(m + 1, r, (k << 1) + 1);
return ;
}

void construct(int l, int r, int k){    T[k].l = l;    T[k].r = r;    T[k].c = 0;    if(l == r) return ;    int m = (l + r) >> 1;    construct(l, m, k << 1);    construct(m + 1, r, (k << 1) + 1);    return ;}

[A,B,C]：A表示左值，B表示右值，C表示在静态数组中的位置，由此可知，n个点的话大约共有2*n个结点，因此开3*n的结构体一定是够的。

更新值：

[cpp] view plain copy print ?

void insert(int d, int k){
//如果找到了就c值+1返回。
if(T[k].l == T[k].r && d == T[k].l){
T[k].c += 1;
return ;
}
int m = (T[k].l + T[k].r) >> 1;
if(d <= m) insert(d, k << 1);
else insert(d, (k << 1) + 1);
//更新每一个c，向上更新
T[k].c = T[k << 1].c + T[(k << 1) + 1].c;
}

void insert(int d, int k){    //如果找到了就c值+1返回。    if(T[k].l == T[k].r && d == T[k].l){        T[k].c += 1;        return ;    }    int m = (T[k].l + T[k].r) >> 1;    if(d <= m) insert(d, k << 1);    else insert(d, (k << 1) + 1);    //更新每一个c，向上更新    T[k].c = T[k << 1].c + T[(k << 1) + 1].c;}

查找值：

[cpp] view plain copy print ?

//k表示树根，d表示要查找的值
void search(int d, int k, int& ans)
{
if(T[k].l == T[k].r){
ans = T[k].l;
ans = T[k].l;
}
int m = (T[k].l + T[k].r) >> 1;
//不懂
if(d > T[(k << 1)].c) search(d - T[k << 1].c, (k << 1) + 1, ans);
else search(d, k << 1, ans);
}

//k表示树根，d表示要查找的值void search(int d, int k, int& ans){    if(T[k].l == T[k].r){        ans = T[k].l;        ans = T[k].l;    }    int m = (T[k].l + T[k].r) >> 1;    //不懂    if(d > T[(k << 1)].c) search(d - T[k << 1].c, (k << 1) + 1, ans);    else search(d, k << 1, ans);}

search函数的用法不太懂。

例题解：

（待更新）

四类题型：

1.单点更新只更新叶子结点，然后把信息用PushUp(int r)这个函数更新上来。

hdu1166：敌兵布阵

线段树功能：update：单点替换 query：区间最值

poj2828

树状数组：

[cpp] view plain copy print ?

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int maxn = 200000;
int C[maxn + 100];
int B[maxn + 100];
int n;
PII arr[maxn + 100];
int lowbit(int k) { return k & (-k); }
void init() {
for(int i = 1; i <= n; i++) C[i] = lowbit(i);
memset(B, -1, n + 10);
}
void update(int i) {
while(i <= n) {
C[i]--;
i += lowbit(i);
}
}
int query(int i) {
int ret = 0;
while(i > 0) {
ret += C[i];
i -= lowbit(i);
}
return ret;
}
void debug() {
for(int i = 1; i <= n; i++) cout << i << " " << query(i) << endl;
}
void fun(int a, int v) {
int l = 1, r = n;
while(l < r) {
int m = (l + r) >> 1;
if(query(m) >= a) r = m;
else l = m + 1;
}
//cout << "here " << l << endl;
update(l);
//cout << "here2 " << endl;
//debug();
B[l] = v;
//return l;
}
int main() {
while(~scanf("%d", &n)) {
init();
int a, b;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d%d", &a, &b);
a++;
arr[i].first = a;
arr[i].second = b;
}
for(int i = n; i > 0; i--) fun(arr[i].first, arr[i].second);
//debug2();
//bool flag = false;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
i == 1 ? printf("%d", B[i]) : printf(" %d", B[i]);
//if(B[i] != -1 && !flag) { printf("%d", B[i]); flag = true; }
//else if(B[i] != -1) printf(" %d", B[i]);
}
puts("");
}
return 0;
}

#include <iostream>#include <cstdio>#include <string>#include <cstring>using namespace std;typedef pair<int, int> PII;const int maxn = 200000;int C[maxn + 100];int B[maxn + 100];int n;PII arr[maxn + 100];int lowbit(int k) { return k & (-k); }void init() {    for(int i = 1; i <= n; i++) C[i] = lowbit(i);    memset(B, -1, n + 10);}void update(int i) {    while(i <= n) {        C[i]--;        i += lowbit(i);    }}int query(int i) {    int ret = 0;    while(i > 0) {        ret += C[i];        i -= lowbit(i);    }    return ret;}void debug() {    for(int i = 1; i <= n; i++) cout << i << " " << query(i) << endl;}void fun(int a, int v) {    int l = 1, r = n;    while(l < r) {        int m = (l + r) >> 1;        if(query(m) >= a) r = m;        else l = m + 1;    }    //cout << "here  " << l << endl;    update(l);    //cout << "here2 " << endl;    //debug();    B[l] = v;    //return l;}int main() {    while(~scanf("%d", &n)) {        init();        int a, b;        for(int i = 1; i <= n; i++) {            scanf("%d%d", &a, &b);            a++;            arr[i].first = a;            arr[i].second = b;        }        for(int i = n; i > 0; i--) fun(arr[i].first, arr[i].second);        //debug2();        //bool flag = false;        for(int i = 1; i <= n; i++) {            i == 1 ? printf("%d", B[i]) : printf(" %d", B[i]);            //if(B[i] != -1 && !flag) { printf("%d", B[i]); flag = true; }            //else if(B[i] != -1) printf(" %d", B[i]);        }        puts("");    }    return 0;}

poj-3468

[cpp] view plain copy print ?

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
#define lson l, m, rt<<1
#define rson m+1, r, rt<<1|1
typedef long long LL;
const int maxn = 111111;
LL col[maxn<<2];
LL sum[maxn<<2];
void PushUp(LL rt) {
sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
}
//pushdown的作用是如果此点可以更新。
//也就是更新到下一层
//如果是底层，那么是不用pushdown的。
void PushDown(LL rt, LL m) {
if(col[rt]) {
//col[rt<<1] = col[rt<<1|1] = col[rt];
col[rt<<1] += col[rt];
col[rt<<1|1] += col[rt];
sum[rt<<1] += col[rt] * (m - (m>>1));
sum[rt<<1|1] += col[rt] * (m>>1);
col[rt] = 0;
}
}
void build(LL l, LL r, LL rt) {
col[rt] = 0;
//cout << l << " " << r << endl;
if(l == r) {
scanf("%I64d", &sum[rt]);
//cout << rt << " " << sum[rt] << endl;
return ;
}
int m = (l + r) >> 1;
build(lson);
build(rson);
PushUp(rt);
}
LL query(LL L, LL R, LL l, LL r, LL rt) {
LL ret = 0;
if(L <= l && r <= R) {
//if(col[rt]) return sum[rt] + (r - l + 1) * col[rt];
return sum[rt];
}
PushDown(rt, r - l + 1);
int m = (l + r) >> 1;
if(L <= m) ret += query(L, R, lson);
if(R > m) ret += query(L, R, rson);
return ret;
}
void update(LL L, LL R, LL c, LL l, LL r, LL rt) {
if(L <= l && r <= R) {
sum[rt] += c * (r - l + 1);
col[rt] += c;//子节点没有更新
return ;
}
PushDown(rt, r - l + 1);
int m = (l + r) >> 1;
if(L <= m) update(L, R, c, lson);
if(R > m) update(L, R, c, rson);
PushUp(rt);
}
void debug(int n) {
for(int i = 1; i <= (n*3); i++) {
cout << i << " ";
}
cout << endl;
for(int i = 1; i <= (n*3); i++) {
cout << col[i] << " ";
}
cout << endl << endl;
for(int i = 1; i <= (n*3); i++) {
cout << i << " ";
}
cout << endl;
for(int i = 1; i <= (n*3); i++) {
cout << sum[i] << " ";
}
cout << endl;
}
int main() {
LL N, Q;
while(~scanf("%I64d%I64d", &N, &Q)) {
//cout << "N = " << N << endl;
memset(sum, 0, sizeof(sum));
memset(col, 0, sizeof(col));
build(1, N, 1);
//debug(N);
for(int i = 0; i < Q; i++) {
char ch[3];
LL a, b, c;
scanf("%s", ch);
if(ch[0] == 'Q') {
scanf("%I64d%I64d", &a, &b);
printf("%I64d\n", query(a, b, 1, N, 1));
}
else {
scanf("%I64d%I64d%I64d", &a, &b, &c);
update(a, b, c, 1, N, 1);
}
//debug(N);
}
}
return 0;
}

#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>using namespace std;#define lson l, m, rt<<1#define rson m+1, r, rt<<1|1typedef long long LL;const int maxn = 111111;LL col[maxn<<2];LL sum[maxn<<2];void PushUp(LL rt) {    sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];}//pushdown的作用是如果此点可以更新。//也就是更新到下一层//如果是底层，那么是不用pushdown的。void PushDown(LL rt, LL m) {    if(col[rt]) {        //col[rt<<1] = col[rt<<1|1] = col[rt];        col[rt<<1] += col[rt];        col[rt<<1|1] += col[rt];        sum[rt<<1] += col[rt] * (m - (m>>1));        sum[rt<<1|1] += col[rt] * (m>>1);        col[rt] = 0;    }}void build(LL l, LL r, LL rt) {    col[rt] = 0;    //cout << l << " " << r << endl;    if(l == r) {        scanf("%I64d", &sum[rt]);        //cout << rt << " " << sum[rt] << endl;        return ;    }    int m = (l + r) >> 1;    build(lson);    build(rson);    PushUp(rt);}LL query(LL L, LL R, LL l, LL r, LL rt) {    LL ret = 0;    if(L <= l && r <= R) {        //if(col[rt]) return sum[rt] + (r - l + 1) * col[rt];        return sum[rt];    }    PushDown(rt, r - l + 1);    int m = (l + r) >> 1;    if(L <= m) ret += query(L, R, lson);    if(R > m) ret += query(L, R, rson);    return ret;}void update(LL L, LL R, LL c, LL l, LL r, LL rt) {    if(L <= l && r <= R) {        sum[rt] += c * (r - l + 1);        col[rt] += c;//子节点没有更新        return ;    }    PushDown(rt, r - l + 1);    int m = (l + r) >> 1;    if(L <= m) update(L, R, c, lson);    if(R > m) update(L, R, c, rson);    PushUp(rt);}void debug(int n) {    for(int i = 1; i <= (n*3); i++) {        cout << i << " ";    }    cout << endl;    for(int i = 1; i <= (n*3); i++) {        cout << col[i] << " ";    }    cout << endl << endl;    for(int i = 1; i <= (n*3); i++) {        cout << i << " ";    }    cout << endl;    for(int i = 1; i <= (n*3); i++) {        cout << sum[i] << " ";    }    cout << endl;}int main() {    LL N, Q;    while(~scanf("%I64d%I64d", &N, &Q)) {        //cout << "N = " << N << endl;        memset(sum, 0, sizeof(sum));        memset(col, 0, sizeof(col));        build(1, N, 1);        //debug(N);        for(int i = 0; i < Q; i++) {            char ch[3];            LL a, b, c;            scanf("%s", ch);            if(ch[0] == 'Q') {                scanf("%I64d%I64d", &a, &b);                printf("%I64d\n", query(a, b, 1, N, 1));            }            else {                scanf("%I64d%I64d%I64d", &a, &b, &c);                update(a, b, c, 1, N, 1);            }            //debug(N);        }    }    return 0;}