OpenGL绘制B样条曲线

B样条

B样条曲线（B-spline curves）是一种基于样条函数（spline function）的分段多项式函数，广泛用于计算机图形学、数据拟合和数值分析中。B样条曲线有许多优点，如局部控制、平滑性和灵活性。

1. 基本概念

1.1 节点向量（ Knot Vector ）

节点向量是一个非递减序列 {ti}\{t_i\}{ti​}，其中$i$从 $0$到 $n+k+1$，$n$是控制点的数量，$k$是B样条曲线的阶数（degree）。节点向量决定了B样条基函数的定义域。

1.2 B样条基函数（Basis Functions）

B样条基函数 $B_{i,k}(t)$ 是分段多项式函数，它是定义B样条曲线的重要组成部分。基函数的定义是递归的：

• 零阶基函数（piecewise constant）：$B_{i,0}(t)=\{\begin{array}{ll}1& t_i\le t<t_{i+1}\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$
• 递归定义高阶基函数：$B_{i,k}(t)=\frac{t-t_i}{t_{i+k-1}-t_i}{B}_{i,k-1}(t)+\frac{t_{i+k}-t}{t_{i+k}-t_{i+1}}{B}_{i+1,k-1}(t)$

float B(int i, int k, float t, const std::vector<float>& knots) {
    if (k == 1) {
        return (knots[i] <= t && t < knots[i+1]) ? 1.0f : 0.0f;
    } else {
        float coeff1 = (t - knots[i]) / (knots[i + k - 1] - knots[i]);
        float coeff2 = (knots[i + k] - t) / (knots[i + k] - knots[i + 1]);
        return coeff1 * B(i, k - 1, t, knots) + coeff2 * B(i + 1, k - 1, t, knots);
    }
}

2. B样条曲线的数学表达式

给定一个控制点序列 {Pi}\{P_i\}{Pi​} 和一个节点向量 {ti}\{t_i\}{ti​}，B样条曲线 $P(t)$ 的表达式为：
$P(t)={\sum }_{i=0}^n{P}_i{B}_{i,k}(t)t\in [t_{k-1},t_{n+1}]$
其中：
● $P_i$是第$i$个控制点
● $B_{i,k}(t)$是阶数为$k$的第$i$个B样条基函数

3. B样条的类型

1. 均匀B样条曲线：当节点沿参数轴均匀等距分布，即$u$i+1-$u$i=常数>0时，表示均匀B样条函数。
2. 准均匀B样条曲线：与均匀B样条曲线的差别在于两端节点具有重复度k，这样的节点矢量定义了准均匀的B样条基。
3. 分段Bezier曲线：节点矢量中两端节点具有重复度k，所有内节点重复度尾k-1，这样的节点矢量定义了分段的Bernestein基。B样条曲线用分段Bezier曲线表示后，各曲线段就具有了相对独立性。
4. 非均匀B样条曲线：当节点沿参数轴的分布不等距，即$u$i+1-$u$i$\ne$常数时，表示非均匀B样条函数

4. 绘制代码

void BSplineCurve::calculateKnots()
{
    // 均匀B样条
    // 控制点个数 n+1
    // 阶数k
    int n = controlPoints.size() - 1;
    int k = degree;
    int m = n + k + 1;

    knots.resize(m + 1);

    // 有m+1个矢量结点
    for (int i = 0; i <= m; ++i)
    {
        knots[i] = float(i) / (m - degree + 1);
    }
}

float BSplineCurve::B(int i, int k, float t)
{
    if (k == 1)
        return (knots[i] <= t && t < knots[i + 1]) ? 1.0f : 0.0f;
    else
    {
        float coeff1 = (t - knots[i]) / (knots[i + k - 1] - knots[i]);
        float coeff2 = (knots[i + k] - t) / (knots[i + k] - knots[i + 1]);
        return coeff1 * B(i, k - 1, t) + coeff2 * B(i + 1, k - 1, t);
    }
}

void BSplineCurve::calculateBSplinePoints()
{
    int n = controlPoints.size() - 1;
    vertices.clear();

    for (int j = 0; j <= 64; ++j)
    {
        float t = (float)j / 64.0f * (knots[n + 1] - knots[degree]) + knots[degree];
        Vertex v;
        for (int i = 0; i <= n; ++i)
        {
            float basis = B(i, degree + 1, t);
            v.position += basis * controlPoints[i];
        }
        vertices.push_back(v);
    }
}