OpenGL绘制B样条曲线

B样条

B样条曲线（B-spline curves）是一种基于样条函数（spline function）的分段多项式函数，广泛用于计算机图形学、数据拟合和数值分析中。B样条曲线有许多优点，如局部控制、平滑性和灵活性。

1. 基本概念

1.1 节点向量（ Knot Vector ）

节点向量是一个非递减序列 { ti}\{t_i\}{ ti​}，其中$i$从 $0$到 $n+k+1$，$n$是控制点的数量，$k$是B样条曲线的阶数（degree）。节点向量决定了B样条基函数的定义域。

1.2 B样条基函数（Basis Functions）

B样条基函数 $B_{i,k}(t)$ 是分段多项式函数，它是定义B样条曲线的重要组成部分。基函数的定义是递归的：

• 零阶基函数（piecewise constant）：$B_{i,0}(t)=\{\begin{array}{ll}1& t_i\le t<t_{i+1}\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$
• 递归定义高阶基函数：Bi,k(t)=t−titi+k−1−tiBi,k−1(t)+ti+k−tti+k−ti+1Bi+1,k−1(t)B_{i,k}(t) = \frac{t - t_i}{t_{i+k-1} - t_i} B_{i,k-1}(t) + \frac{t_{i+k} - t}{t_{i+k} - t_{i+1}} B_{i+1,k-1}(t)