9.6 期望、方差和协方差

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期望(Expectation)

数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。
离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率p(xi)乘积之和称为该离散型随机变量的数学期望(若该求和绝对收敛），记为E(x) 。它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。
离散型随机变量X的取值为x1,x2,x3,...xn，p(x1),p(x2),p(x3),...p(xn)为X对应取值的概率，函数 f(x) 是指当x由 P 产生，f作用于 x 时，f(x)

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期望、方差和协方差
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分布有关的特征数：均值，方差，分位数等 期望的定义： 设离散随机变量X的分布列为pi=p(xi)=P(X=xi)，i=1，2，…，n 若Sum(| xi |*p(xi))收敛(等价于Sum( xi *p(xi))绝对收敛) 则称E(X)= Sum( xi *p(xi)) 关于期望我们希望它是唯一的 无穷级数若绝对收敛，则能保证其一定收敛(黎曼级数定理) 设连续随机变量X的密度函数p(x)，若积分|x|p(x)dx(负无穷->正无穷)收敛 则称E(X)= 积分xp(x)dx(负无穷->正无穷)为X
方差和协方差
03-21
<think>嗯，用户想了解方差和协方差的定义、区别以及计算方法，尤其是在编程和数据分析的背景下。首先，我需要先回顾一下这两个概念的基本定义，确保自己理解正确。 方差，我记得是用来衡量数据集中各个数据点与均值之间的偏离程度。计算方式应该是每个数据点减去均值的平方的平均数。不过要注意样本方差和总体方差的区别，样本方差的分母是n-1，而总体方差是n。这应该和引用[3]里的内容相关，因为那里提到了方差的计算公式$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n |x_i - \bar{x}|^2$，所以这里需要强调样本方差使用n-1，而总体是n。 接下来是协方差，它衡量的是两个变量之间的线性关系。协方差为正表示两个变量同方向变化，为负则相反。但协方差的值受变量量纲影响，这可能是一个需要注意的地方。协方差的计算公式应该是每个变量减去其均值后的乘积的平均数，同样样本协方差分母是n-1。 然后要比较方差和协方差的区别。方差是单变量的离散程度，协方差是两变量之间的关联。协方差可能量纲不一致的问题，所以相关系数会更标准化，这点可能需要提到，但用户的问题里没有问相关系数，所以可能只需要点到为止。 在编程实现方面，用户可能想知道如何在Python中计算方差和协方差。比如，使用NumPy库中的var和cov函数，但要注意参数ddof=1来得到样本方差。Pandas中的DataFrame也有cov方法可以直接计算协方差矩阵。需要给出示例代码，这样用户可以直接应用。 另外，应用场景方面，方差用于评估数据的稳定性或波动性，协方差用于特征分析，比如金融中的资产组合优化。这可能帮助用户理解它们的实际用途。 需要检查是否有引用相关的内容。引用[3]提到了方差和标准差，可以用来支持方差的定义。协方差可能没有直接提到，但可以关联到数据分析中的特征关系分析，可能在引用[2]或[4]中有相关概念，但不确定，可能需要确认。如果没有直接引用，就只引用已有的部分。 现在需要组织语言，分点解释定义、区别、计算步骤和编程实现。确保使用正确的中文术语，公式用$$...$$格式，行内公式用$...$。例如，方差公式用$$，而例子中的计算可能用行内。 在编程部分，给出代码示例，并说明使用的库函数，比如numpy和pandas。例如，numpy.var默认计算总体方差，所以样本方差需要设置ddof=1。同样，cov函数返回协方差矩阵，可能需要解释如何提取特定两个变量的协方差。 最后，相关问题部分，需要考虑用户可能进一步的问题，比如协方差矩阵的意义，方差与标准差的关系，标准化处理的方法，协方差在机器学习中的应用等。这些相关问题需要与主题紧密相关，并帮助用户深入学习。 总结一下，结构应该是： 1. 方差的定义和计算 2. 协方差的定义和计算 3. 区别与联系 4. 编程实现（代码示例） 5. 应用场景 6. 相关问题 需要确保每个部分清晰，并且引用正确的内容。比如方差部分引用[3]，而协方差可能没有直接引用，但可以提到数据分析中的相关性分析，如引用[4]中的特征处理或引用[2]中的维度缩减可能涉及协方差矩阵（如PCA）。 现在开始组织内容，确保符合用户的要求，使用中文，公式正确，代码示例正确，并生成相关问题。</think>### 方差与协方差的概念及计算方法 #### 1. **方差的定义与计算** **方差（Variance）** 用于衡量单个变量数据的离散程度，反映数据与均值的偏离程度。 - **数学定义**： 对于样本数据，方差计算公式为： $$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$$ 其中，$\bar{x}$ 是样本均值，$n$ 是样本量，分母使用 $n-1$ 以校正样本偏差（无偏估计）[^3]。 对于总体数据，方差为： $$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2$$ （$\mu$ 为总体均值） - **编程实现（Python）**： ```python import numpy as np data = [2, 4, 6, 8, 10] sample_variance = np.var(data, ddof=1) # 样本方差（ddof=1表示n-1） population_variance = np.var(data) # 总体方差（默认ddof=0） ``` --- #### 2. **协方差的定义与计算** **协方差（Covariance）** 衡量两个变量之间的线性关系方向。 - **数学定义**： 样本协方差公式为： $$\text{cov}(X,Y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$$ 协方差为正表示两变量同向变化，为负表示反向变化，绝对值大小受变量量纲影响。 - **编程实现（Python）**： ```python import numpy as np x = [1, 2, 3, 4, 5] y = [5, 4, 3, 2, 1] covariance_matrix = np.cov(x, y, ddof=1) # 返回协方差矩阵 covariance_xy = covariance_matrix[0, 1] # 提取X和Y的协方差 ``` --- #### 3. **方差与协方差的区别** | **维度** | **方差** | **协方差** | |----------------|-----------------------------|-------------------------------| | 作用对象 | 单变量 | 双变量 | | 量纲影响 | 与数据量纲一致 | 受两变量量纲共同影响 | | 标准化 | 方差开方得标准差（同量纲） | 协方差标准化后得相关系数[-1,1] | --- #### 4. **应用场景** - **方差**：评估数据稳定性（如股票收益波动性）、数据预处理（异常值检测）。 - **协方差**：特征相关性分析（如PCA降维）、投资组合优化（分散风险）[^2]。 ---
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