快速幂优化

普通方法是逐个相乘,但是速度相当慢:

fun(long long x,long long n) {
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        x *= x;
    }
    return x;
}

 拿2^{9}来说,可分为:2*2*2*2*2*2*2*2*2,由于2*2=4,进一步可以写成4*4*4*4*2,由此类推,可以写成8*8*2;

需要判断n为0时的特殊情况,代码如下:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define Max 100001

using namespace std;
typedef long long ll;

ll pow(ll x, ll n) {
	ll result = 1;
	if(n == 0) return 1;
	else {
		while((n & 1) == 0) {
			n >>= 1;
			x *= x;
		}
	}
	result = x;
	n >>= 1;
	while(n != 0) {
		x *= x;
		if((n & 1) != 0) {
			result *= x;
		}
		n >>= 1;
		
	}
	return result;
}

int main() {
	ll x, n;
	cin >> x >> n;
	cout << pow(x, n) << endl;
	return 0;
}

 

### 使用矩阵快速幂优化01背包问题 通常情况下,01背包问题是通过动态规划来求解的。然而,在特定条件下,可以通过引入矩阵乘法和快速幂运算进一步优化算法效率。 #### 动态规划基础回顾 对于标准的01背包问题,定义`dp[i][j]`表示前i件物品放入容量为j的背包可以获得的最大价值。状态转移方程如下: ```java if (w + items[i].weight <= maxWeight) { dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-items[i].weight]+items[i].value); } else { dp[i][j] = dp[i-1][j]; } ``` 此方法的时间复杂度为O(nW),其中n是物品数量,W是最大重量[^2]。 #### 矩阵快速幂的应用场景分析 当面对重复子结构且具有线性关系的状态转换时,可以考虑使用矩阵加速计算过程。但是需要注意的是,并不是所有的DP都可以直接套用这种方法;只有那些能够转化为形如f(n)=Af(n−1)+B的形式才能适用。 对于经典的01背包来说,其状态转移不具备上述特征,因此无法简单地应用矩阵快速幂来进行优化。不过有一种特殊情况下的变种被称为“完全背包”,即每种类型的物品有无限多个可用,此时确实存在一种基于矩阵的方式去处理它[^4]。 #### 完全背包问题中的矩阵快速幂优化思路 假设有一个一维数组`v[]`代表不同种类商品的价值向量,以及另一个相同长度的一维布尔型数组`b[]`标记哪些位置已经被选中过。那么我们可以构建一个二阶方阵M: | v[0]*b[0] | ... | v[k-1]*b[k-1] | |-----------|-----|---------------| | . | ... | . | | v[(k-1)]*b[(k-1)] |...| v[0]*b[0] | 这里每一行都是上一行循环右移一位的结果。这样做的目的是为了模拟每次选择一件新物品加入到已有的组合里的情况。接着就可以利用这个特殊的矩阵形式配合快速幂技巧高效完成多次迭代操作了。 #### Python代码实现示例 下面给出一段Python伪代码展示如何运用矩阵快速幂解决简化版的完全背包问题(注意这并不是针对原问提到的标准01背包): ```python import numpy as np def matrix_mult(A, B): """Matrix multiplication""" return [[sum(a * b for a,b in zip(row,col)) % MOD for col in zip(*B)] for row in A] def power(M, p): result = [[int(i==j)%MOD for j in range(len(M))]for i in range(len(M))] while p > 0: if p%2 == 1: result = matrix_mult(result,M) M = matrix_mult(M,M) p //= 2 return result # 初始化参数 values = [...] # 物品价值列表 weights = [...] # 对应权重列表 capacity = ... modulus = ... # 构建初始矩阵 matrix_size = min(capacity//min(weights),len(values)) initial_matrix = [[0]*matrix_size for _ in range(matrix_size)] for idx,val in enumerate(values[:matrix_size]): initial_matrix[idx][(idx+1)%matrix_size]=val final_matrix = power(initial_matrix,capacity) print(sum(final_matrix[-1])%modulus) ``` 这段代码展示了如何创建并初始化所需的矩阵,然后调用辅助函数执行矩阵相乘与快速幂运算,最后输出最终结果。请注意实际编码过程中还需要根据具体题目调整细节部分[^5]。
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