均匀分布和高斯分布

一、均匀分布
若连续型随机变量X具有概率密度
$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a<x<b\\ 0,& 其他\end{array}$

则称X在区间（a，b）上服从均匀分布。记为X~U(a，b）。

易知$f(x)\ge 0$，且${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$

在区间（a，b）上服从均匀分布的随机变量X,具有下述意义的等可能性，即它落在区间（a，b）中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说它落在（a，b）的子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。事实上，对于任一长度L的子区间（c，c+l），$a\le c<c+l\le b$,有
P { c &lt; X ≤ c + l } = ∫ c c + l f ( x ) d x = ∫ c c + l 1 b − a d x = l b − a P\{c&lt;X{\leq}c+l\}=\int_{c}^{c+l}f(x)dx=\int_{c}^{c+l}\tfrac{1}{b-a}dx=\tfrac{l}{b-a} P{c<X≤c+l}=∫cc+l​f(x)dx=∫cc+l​b−a1​dx=b−al​

对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使对于任意实数x有
$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$

由上式得X的分布函数为
$F(x) =
\begin{cases}
0,&x<a\
\tfrac{x-a}{b-a},&a{\leq}x<b\
1,&x{\geq}b
\end{cases} $

f(x)及F(x)的图形分别如图2-9，图2-10所示。

图2-9

图2-10

例：设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900$\Omega $1100$\Omega $.求R概率密度及R落在950$\Omega $1050$\Omega $的概率。

解：R的概率密度为
$f(r)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1100-900},& 900<r<1100,\\ 0,& 其他。\end{array}$

故有$\P{950<R{\leq1050}} =\int_{950}^{1050}\tfrac{1}{200}dr=0.5 $

正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：
X∼N(μ,σ2),
参考：
http://blog.youkuaiyun.com/rns521/article/details/6953591