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- 例题十八
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- 例18.4 已知平面区域 D = { ( x , y ) ∣ 0 ⩽ x ⩽ π , 0 ⩽ y ⩽ π } D=\{(x,y)|0\leqslant x\leqslant\pi,0\leqslant y\leqslant\pi\} D={ (x,y)∣0⩽x⩽π,0⩽y⩽π}， L L L为 D D D的正向边界。试证： ( 2 ) ∮ L x e sin y d y − y e − sin x d x ⩾ 5 2 π 2 . (2)\displaystyle\oint_Lxe^{\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sin x}\mathrm{d}x\geqslant\cfrac{5}{2}\pi^2. (2)∮Lxesinydy−ye−sinxdx⩾25π2.
- 例18.9 设 I = ∬ Σ x d y d z + y d x d z + z d x d y ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 I=\displaystyle\iint\limits_{\Sigma}\cfrac{x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y\mathrm{d}x\mathrm{d}z+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} I=Σ∬(x2+y2+z2)23xdydz+ydxdz+zdxdy，试依次对以下四个曲面计算 I I I的值。
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- （1） Σ \Sigma Σ是上半球面 z = R 2 − x 2 − y 2 z=\sqrt{R^2-x^2-y^2} z=R2−x2−y2的上侧；
- （2） Σ \Sigma Σ是 x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 \cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}+\cfrac{z^2}{c^2}=1 a2x2+b2y2+c2z2=1的外侧 ( a , b , c > 0 ) (a,b,c>0) (a,b,c>0)；
- （3） Σ \Sigma Σ是 z = 2 − x 2 − y 2 z=2-x^2-y^2 z=2−x2−y2在 z ⩾ 0 z\geqslant0 z⩾0部分的上侧；
- （4） Σ \Sigma Σ是 z = 2 − x 2 − y 2 z=2-x^2-y^2 z=2−x2−y2在 z ⩾ − 2 z\geqslant-2 z⩾−2部分的上侧。
- 习题十八
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- 18.6设 P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)都是连续函数， Σ \Sigma Σ是一光滑曲面，面积为 S S S， M M M是 P 2 + Q 2 + R 2 \sqrt{P^2+Q^2+R^2} P2+Q2+R2在 Σ \Sigma Σ上的最大值，证明 ∣ ∬ Σ P d y d z + Q d x d z + R d x d y ∣ ⩽ M S \left|\displaystyle\iint\limits_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}x\mathrm{d}z+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right|\leqslant MS ∣∣∣∣∣∣Σ∬Pdydz+Qdxdz+Rdxdy∣∣∣∣∣∣⩽MS。
- 18.7设空间曲线 L : { x = x 2 + 2 y 2 , z = 6 − 2 x 2 − y 2 , L:\begin{cases}x=x^2+2y^2,\\z=6-2x^2-y^2,\end{cases} L:{ x=x2+2y2,z=6−2x2−y2,从 z z z轴正向向负向看去为逆时针方向。求 I = ∮ L ( z 2 − y ) d x + ( x 2 − z ) d y + ( x − y 2 ) d z . I=\displaystyle\oint_L(z^2-y)\mathrm{d}x+(x^2-z)\mathrm{d}y+(x-y^2)\mathrm{d}z. I=∮L(z2−y)dx+(x2−z)dy+(x−y2)dz.
- 写在最后
例题十八
例18.4 已知平面区域 D = { ( x , y ) ∣ 0 ⩽ x ⩽ π , 0 ⩽ y ⩽ π } D=\{(x,y)|0\leqslant x\leqslant\pi,0\leqslant y\leqslant\pi\} D={ (x,y)∣0⩽x⩽π,0⩽y⩽π}， L L L为 D D D的正向边界。试证： ( 2 ) ∮ L x e sin y d y − y e − sin x d x ⩾ 5 2 π 2 . (2)\displaystyle\oint_Lxe^{\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sin x}\mathrm{d}x\geqslant\cfrac{5}{2}\pi^2. (2)∮Lxesinydy−ye−sinxdx⩾25π2.
解 由于 e t + e − t = 2 ∑ n = 0 ∞ t 2 n ( 2 n ) ! ⩾ 2 ( 1 + t 2 2 ! ) = 2 + t 2 e^t+e^{-t}=2\sum\limits_{n=0}^\infty\cfrac{t^{2n}}{(2n)!}\geqslant2\left(1+\cfrac{t^2}{2!}\right)=2+t^2 et+e−t=2n=0∑∞(2n)!t2n⩾2(1+2!t2)=2+t2，于是 e sin x + e − sin x ⩾ 2 + sin 2 x e^{\sin x}+e^{-\sin x}\geqslant2+\sin^2x esinx+e−sinx⩾2+sin2x，故
∮ L x e sin y d y − y e − sin x d x = ∬ D ( e sin y + e − sin x ) d σ = ∬ D ( e sin x + e − sin x ) d σ ⩾ ∬ D ( 2 + sin 2 x ) d σ = ∬ D 2 d σ + ∬ D sin 2 x d σ = 2 π 2 + 1 2 π 2 = 5 2 π . \begin{aligned} \displaystyle\oint_Lxe^{\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sin x}\mathrm{d}x&=\displaystyle\iint\limits_{D}(e^{\sin y}+e^{-\sin x})\mathrm{d}\sigma=\displaystyle\iint\limits_{D}(e^{\sin x}+e^{-\sin x})\mathrm{d}\sigma\\ &\geqslant\displaystyle\iint\limits_{D}(2+\sin^2x)\mathrm{d}\sigma=\displaystyle\iint\limits_{D}2\mathrm{d}\sigma+\displaystyle\iint\limits_{D}\sin^2x\mathrm{d}\sigma\\ &=2\pi^2+\cfrac{1}{2}\pi^2=\cfrac{5}{2}\pi. \end{aligned} ∮Lxesinydy−ye−sinxdx=D∬(esiny+e−sinx)dσ=D∬(esinx+e−sinx)dσ⩾D∬(2+sin2x)dσ=D∬2dσ+D∬sin2xdσ=2π2+21π2=25π.
（这道题主要利用了轮换对称性求解）
例18.9 设 I = ∬ Σ x d y d z + y d x d z + z d x d y ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 I=\displaystyle\iint\limits_{\Sigma}\cfrac{x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y\mathrm{d}x\mathrm{d}z+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} I=Σ∬(x2+y2+z2)23xdydz+ydxdz+zdxdy，试依次对以下四个曲面计算 I I I的值。
（1） Σ \Sigma Σ是上半球面 z = R 2 − x 2 − y 2 z=\sqrt{R^2-x^2-y^2} z=R2−x2−y2的上侧；
（2） Σ \Sigma Σ是 x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 \cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}+\cfrac{z^2}{c^2}=1 a2x2+b2y2+c2z2=1的外侧 ( a , b , c > 0 ) (a,b,c>0) (a,b,c>0)；
（3） Σ \Sigma Σ是 z = 2 − x 2 − y 2 z=2-x^2-y^2 z=2−x2−y2在 z ⩾ 0 z\geqslant0 z⩾0部分的上侧；
（4） Σ \Sigma Σ是 z = 2 − x 2 − y 2 z=2-x^2-y^2 z=2−x2−y2在 z ⩾ − 2 z\geqslant-2 z⩾−2部分的上侧。
解 设 z = x 2 + y 2 + z 2 , P = x r 3 , Q = y r 3 , R = z r 3 , ∂ P ∂ x = r 3 − 3 x r 2 ⋅ x r r 6 = 1 r 3 − 3 x 2 r 5 z=\sqrt{x^2+y^2+z^2},P=\cfrac{x}{r^3},Q=\cfrac{y}{r^3},R=\cfrac{z}{r^3},\cfrac{\partial P}{\partial x}=\cfrac{r^3-3xr^2\cdot\cfrac{x}{r}}{r^6}=\cfrac{1}{r^3}-\cfrac{3x^2}{r^5} z=x2+y2+z2,P=r3x,Q=r3y,R=r3z,∂x∂P=r6r3−3xr2⋅rx=r31−r53x2。
同理 ∂ Q ∂ y = 1 r 3 − 3 y 2 r 5 , ∂ R ∂ z = 1 r 3 − 3 z 2 r 5 \cfrac{\partial Q}{\partial y}=\cfrac{1}{r^3}-\cfrac{3y^2}{r^5},\cfrac{\partial R}{\partial z}=\cfrac{1}{r^3}-\cfrac{3z^2}{r^5} ∂y∂Q=r3
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