目录
- 例题十一
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- 例11.8 计算 I = ∫ 0 1 d y ∫ y 1 x 2 − y 2 d x I=\displaystyle\int^1_0\mathrm{d}y\displaystyle\int^1_y\sqrt{x^2-y^2}\mathrm{d}x I=∫01dy∫y1x2−y2dx。
- 例11.16 计算 lim n → ∞ 1 n 3 ∬ D [ x 2 + y 2 ] d σ \lim\limits_{n\to\infty}\cfrac{1}{n^3}\displaystyle\iint\limits_{D}[\sqrt{x^2+y^2}]\mathrm{d}\sigma n→∞limn31D∬[x2+y2]dσ，其中 D = { ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 ⩽ n 2 } , [ ⋅ ] D=\{(x,y)|x^2+y^2\leqslant n^2\},[\cdot] D={ (x,y)∣x2+y2⩽n2},[⋅]是取整符号。
- 例11.18 设 f ( x ) f(x) f(x)在 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]上是单调减少且为正值的连续函数。证明： ∫ 0 1 f 2 ( x ) d x ∫ 0 1 x f ( x ) d x ⩾ ∫ 0 1 x f 2 ( x ) d x ∫ 0 1 f ( x ) d x . \displaystyle\int^1_0f^2(x)\mathrm{d}x\displaystyle\int^1_0xf(x)\mathrm{d}x\geqslant\displaystyle\int^1_0xf^2(x)\mathrm{d}x\displaystyle\int^1_0f(x)\mathrm{d}x. ∫01f2(x)dx∫01xf(x)dx⩾∫01xf2(x)dx∫01f(x)dx.
- 例11.22 利用广义二重积分计算 ∫ 0 + ∞ e − x 2 d x \displaystyle\int^{+\infty}_0e^{-x^2}\mathrm{d}x ∫0+∞e−x2dx。
- 习题十一
- 新版例题十四
- 写在最后
例题十一
例11.8 计算 I = ∫ 0 1 d y ∫ y 1 x 2 − y 2 d x I=\displaystyle\int^1_0\mathrm{d}y\displaystyle\int^1_y\sqrt{x^2-y^2}\mathrm{d}x I=∫01dy∫y1x2−y2dx。
解
I = ∫ 0 1 d y ∫ y 1 x 2 − y 2 d x = ∬ D x 2 − y 2 d x d y = ∫ 0 1 d x ∫ 0 x x 2 − y 2 d y ∫ 0 x x 2 − y 2 d y = 令 y = sin t ∫ 0 π 2 x cos t ⋅ x cos t d t = x 2 ∫ 0 π 2 cos 2 t d t = x 2 ⋅ 1 2 ⋅ π 2 = π 4 x 2 . I=\displaystyle\int^1_0\mathrm{d}y\displaystyle\int^1_y\sqrt{x^2-y^2}\mathrm{d}x=\displaystyle\iint\limits_{D}\sqrt{x^2-y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\displaystyle\int^1_0\mathrm{d}x\displaystyle\int^x_0\sqrt{x^2-y^2}\mathrm{d}y\\ \displaystyle\int^x_0\sqrt{x^2-y^2}\mathrm{d}y\xlongequal{\text{令}y=\sin t}\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_0x\cos t\cdot x\cos t\mathrm{d}t=x^2\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_0\cos^2t\mathrm{d}t=x^2\cdot\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{\pi}{2}=\cfrac{\pi}{4}x^2. I=∫01dy∫y1x2−y2dx=D∬x2−y2dxdy=∫01dx∫0xx2−y2dy∫0xx2−y2dy令y=sint∫02πxcost⋅xcostdt=x2∫02πcos2tdt=x2⋅21⋅2π=4πx2.
故
I = ∫ 0 1 π 4 x 2 d x = π 4 ⋅ 1 3 = π 12 . I=\displaystyle\int^1_0\cfrac{\pi}{4}x^2\mathrm{d}x=\cfrac{\pi}{4}\cdot\cfrac{1}{3}=\cfrac{\pi}{12}. I=∫014πx2dx=4π⋅31=12π.
（这道题主要利用了换元法求解）
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